\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\pagestyle{empty}
\usepackage[left=19mm,right=19mm,top=14mm,bottom=22mm]  
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae}
\usepackage[croatian, english]{babel}
\usepackage{esint, hvfloat}
%%\usepackage[T1]{fontenc}
\def\tr{{\mbox{$\triangle$}}}
\def\du{{\mbox{\rm d$u$}}}
\def\dx{{\mbox{\rm d$x$}}}
\def\df{{\mbox{\rm d$f$}}}
\def\dr{{\mbox{\rm d$r$}}}
\def\dt{{\mbox{\rm d$t$}}}
\def\dy{{\mbox{\rm d$y$}}}
\def\dz{{\mbox{\rm d$z$}}}
\def\dfi{{\mbox{\rm d$\varphi$}}}
\def\dro{{\mbox{\rm d$\rho$}}}
\def\ds{{\mbox{\rm d$s$}}}
\def\dS{{\mbox{\rm d$S$}}}
\def\tg{{\mbox{\rm tg\,}}}
\def\R{{\mbox{$\mathbb R$}}}
\def\arctg{{\mbox{\rm arc\,tg\,}}}
\def\arcsin{{\mbox{\rm arc\,sin\,}}}
\def\arccos{{\mbox{\rm arc\,cos\,}}}
\def\ctg{{\mbox{\rm ctg\,}}}
\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {3mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {3mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  
%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}
\setlength{\textheight}{270mm}
\setlength{\textwidth}{175mm}



\begin{document}
\raggedright


\renewcommand{\thesection}{}
\section{Grupa A - Pismeni ispit iz Matematike, 12.12.2013.,
ispit pisati isključivo hemiskom olovkom, prije rješenja prepisati postavku (tekst) zadatka}
\setcounter{zad}{0}


\begin{zad}
Rješiti matričnu jednačinu $CXA+XB=A$ ako su 
$A=\left[
\begin{matrix} 
0 & -1 & 2 \\
2 & -1 & -3 \\
-1 & 1 & 1 \\
\end{matrix}
\right]$,
$B=\left[
\begin{matrix} 
0 & -3 & 6 \\
6 & -3 & -9 \\
-3 & 3 & 3 \\
\end{matrix}
\right]$ i 
$C=\left[
\begin{matrix} 
-1 & 3 & 5 \\
1 & -1 & 4 \\
1 & 1 & -1 \\
\end{matrix}
\right]$.
\end{zad}







\begin{zad}
Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra $\lambda$\\
\vspace*{-6mm}
\begin{alignat*}{9}
x_1 &\,\,-\,\, & x_2 &\,\,+\,\, & 2x_3 &\,\, \,\, & \, &\,\,=\,\, &10\\
-3x_1 &\,\,+\,\, & 5x_2 &\,\,-\,\, & x_3 &\,\, -\lambda(\lambda-1) \,\, & x_4 &\,\,=\,\, & 9-\lambda\\
2x_1 &\,\,-\,\, & 4x_2 &\,\,+\,\, & 5x_3 &\,\, \,\, & \, &\,\,=\,\, & 18\\
2x_1 &\,\,+\,\, & 3x_2 &\,\,-\,\, & 4x_3 &\,\, +\lambda(\lambda-1) \,\, & x_4 &\,\,=\,\, & \lambda-9\\
\end{alignat*}
\end{zad}











\begin{zad}
Neka je $\mathcal B=\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}$ jedna baza vektorskog prostora $\R^3$.\\


\hspace*{5mm}
(40\%) ($a$) Dokazati da je i skup $\mathcal B'=\{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3\}$ također baza prostora $\R^3$ gdje su $\vec{b}_1=14\vec{a}_1-\vec{a}_2+32\vec{a}_3$, $\vec{b}_2=16\vec{a}_1-\vec{a}_2+36\vec{a}_3$ i $\vec{b}_3=-41\vec{a}_1+3\vec{a}_2-93\vec{a}_3$.\\


\hspace*{5mm}
(60\%) ($b$) Odrediti koordinate vektora $\vec{a}_2$ u odnosu na bazu $\mathcal B'$ (drugim riječima napisati vektor $\vec{a}_2$ kao linearnu kombinaciju vektora iz baze $\mathcal B'$).
\end{zad}





























\begin{zad}
Odrediti definiciono područje, ekstreme, prevojne tačke, te intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije
$\displaystyle{
y=\frac{3x^2-15x+108}{x-5}
}$.
\end{zad}






















%%*********************************************



%%********************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************





\vspace*{2mm}


\renewcommand{\thesection}{}
\section{Grupa B - Pismeni ispit iz Matematike, 12.12.2013.,
ispit pisati isključivo hemiskom olovkom, prije rješenja prepisati postavku (tekst) zadatka}
\setcounter{zad}{0}











\begin{zad}
Rješiti matričnu jednačinu $CXB+AX=C$ ako su 
$A=\left[
\begin{matrix} 
0 & -2 & -4 \\
-4 & -2 & -6 \\
-2 & 0 & -2
\end{matrix}
\right]$,
$B=\left[
\begin{matrix} 
-1 & -1 & 1 \\
1 & -4 & 4 \\
-1 & 1 & -4
\end{matrix}
\right]$ i 
$C=\left[
\begin{matrix} 
0 & -1 & -2 \\
-2 & -1 & -3 \\
-1 & 0 & -1
\end{matrix}
\right]$.
\end{zad}






\begin{zad}
Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra $\lambda$\\
\vspace*{-6mm}
\begin{alignat*}{9}
x_1 &\,\,-\,\, & 4x_2 &\,\,+\,\, & 3x_3 &\,\, \,\, & \, &\,\,=\,\, &4\\
-3x_1 &\,\,+\,\, & 14x_2 &\,\,-\,\, & 10x_3 &\,\, -\lambda(\lambda-3) \,\, & x_4 &\,\,=\,\, & -\lambda-6\\
3x_1 &\,\,-\,\, & 14x_2 &\,\,+\,\, & 10x_3 &\,\, \,\, & \, &\,\,=\,\, & 9\\
2x_1 &\,\,-\,\, & 3x_2 &\,\,+\,\, & 4x_3 &\,\, +\lambda(\lambda-3) \,\, & x_4 &\,\,=\,\, & \lambda+16\\
\end{alignat*}
\end{zad}







\begin{zad}
Neka je $\mathcal B=\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}$ jedna baza vektorskog prostora $\R^3$.\\


\hspace*{5mm}
(40\%) ($a$) Dokazati da je i skup $\mathcal B'=\{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3\}$ također baza prostora $\R^3$ gdje su 
$\vec{b}_1=22\vec{a}_1+\vec{a}_2+39\vec{a}_3$, $\vec{b}_2=-24\vec{a}_1-\vec{a}_2-43\vec{a}_3$ i $\vec{b}_3=-2\vec{a}_1-3\vec{a}_3$.\\


\hspace*{5mm}
(60\%) ($b$) Odrediti koordinate vektora $\vec{a}_2$ u odnosu na bazu $\mathcal B'$ (drugim riječima napisati vektor $\vec{a}_2$ kao linearnu kombinaciju vektora iz baze $\mathcal B'$).
\end{zad}







\begin{zad}
Odrediti definiciono područje, ekstreme, prevojne tačke, te intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije
$\displaystyle{
y=\frac{2x^2-6x+2}{x-3}
}$.
\end{zad}









%%**********************************************



%%********************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************






\renewcommand{\thesection}{}
\section{Grupa C - Pismeni ispit iz Matematike, 12.12.2013.,
ispit pisati isključivo hemiskom olovkom, prije rješenja prepisati postavku (tekst) zadatka}
\setcounter{zad}{0}








\begin{zad}
Rješiti matričnu jednačinu $AXC+XB=C$ ako su 
$A=\left[
\begin{matrix} 
0 & 3 & 5 \\
1 & 0 & 4 \\
1 & 1 & 0
\end{matrix}
\right]$,
$B=\left[
\begin{matrix} 
1 & -1 & 1 \\
1 & -2 & 4 \\
-1 & 1 & -2
\end{matrix}
\right]$ i 
$C=\left[
\begin{matrix} 
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & -1 & 2 \\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1
\end{matrix}
\right]$.
\end{zad}





\begin{zad}
Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra $\lambda$\\
\vspace*{-6mm}
\begin{alignat*}{9}
x_1 &\,\,-\,\, & 3x_2 &\,\,+\,\, & 2x_3 &\,\, \,\, & \, &\,\,=\,\, &-8\\
-4x_1 &\,\,+\,\, & 8x_2 &\,\,+\,\, & x_3 &\,\, -\lambda(\lambda+2) \,\, & x_4 &\,\,=\,\, & 37-\lambda\\
2x_1 &\,\,-\,\, & 9x_2 &\,\,+\,\, & 5x_3 &\,\, \,\, & \, &\,\,=\,\, & -28\\
3x_1 &\,\,+\,\, & 2x_2 &\,\,-\,\, & 5x_3 &\,\, +\lambda(\lambda+2) \,\, & x_4 &\,\,=\,\, & \lambda\\
\end{alignat*}
\end{zad}





\begin{zad}
Neka je $\mathcal B=\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}$ jedna baza vektorskog prostora $\R^3$.\\


\hspace*{5mm}
(40\%) ($a$) Dokazati da je i skup $\mathcal B'=\{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3\}$ također baza prostora $\R^3$ gdje su 
$\vec{b}_1=15\vec{a}_1-\vec{a}_2+33\vec{a}_3$, $\vec{b}_2=3\vec{a}_1+6\vec{a}_3$ i $\vec{b}_3=-29\vec{a}_1+2\vec{a}_2-63\vec{a}_3$.\\


\hspace*{5mm}
(60\%) ($b$) Odrediti koordinate vektora $\vec{a}_2$ u odnosu na bazu $\mathcal B'$ (drugim riječima napisati vektor $\vec{a}_2$ kao linearnu kombinaciju vektora iz baze $\mathcal B'$).
\end{zad}






\begin{zad}
Odrediti definiciono područje, ekstreme, prevojne tačke, te intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije
$\displaystyle{
y=\frac{4x^2+8x+1}{x+2}
}$.
\end{zad}






%%********************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************






\vspace*{2mm}


\renewcommand{\thesection}{}
\section{Grupa C - Pismeni ispit iz Matematike, 12.12.2013.,
ispit pisati isključivo hemiskom olovkom, prije rješenja prepisati postavku (tekst) zadatka}
\setcounter{zad}{0}








\begin{zad}
Rješiti matričnu jednačinu $AXC+XB=C$ ako su 
$A=\left[
\begin{matrix} 
0 & 3 & 5 \\
1 & 0 & 4 \\
1 & 1 & 0
\end{matrix}
\right]$,
$B=\left[
\begin{matrix} 
1 & -1 & 1 \\
1 & -2 & 4 \\
-1 & 1 & -2
\end{matrix}
\right]$ i 
$C=\left[
\begin{matrix} 
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & -1 & 2 \\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1
\end{matrix}
\right]$.
\end{zad}





\begin{zad}
Riješiti sistem jednačina\\
\vspace*{-6mm}
\begin{alignat*}{9}
x_1 &\,\,-\,\, & 3x_2 &\,\,+\,\, & 2x_3 &\,\, \,\, & \, &\,\,=\,\, &-8\\
-4x_1 &\,\,+\,\, & 8x_2 &\,\,+\,\, & x_3 &\,\, -\lambda(\lambda+2) \,\, & x_4 &\,\,=\,\, & 37-\lambda\\
2x_1 &\,\,-\,\, & 9x_2 &\,\,+\,\, & 5x_3 &\,\, \,\, & \, &\,\,=\,\, & -28\\
3x_1 &\,\,+\,\, & 2x_2 &\,\,-\,\, & 5x_3 &\,\, +\lambda(\lambda+2) \,\, & x_4 &\,\,=\,\, & \lambda\\
\end{alignat*}
\end{zad}





\begin{zad}
Neka je $\mathcal B=\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}$ jedna baza vektorskog prostora $\R^3$.\\


\hspace*{5mm}
(40\%) ($a$) Dokazati da je i skup $\mathcal B'=\{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3\}$ također baza prostora $\R^3$ gdje su 
$\vec{b}_1=15\vec{a}_1-\vec{a}_2+33\vec{a}_3$, $\vec{b}_2=3\vec{a}_1+6\vec{a}_3$ i $\vec{b}_3=-29\vec{a}_1+2\vec{a}_2-63\vec{a}_3$.\\


\hspace*{5mm}
(60\%) ($b$) Odrediti koordinate vektora $\vec{a}_2$ u odnosu na bazu $\mathcal B'$ (drugim riječima napisati vektor $\vec{a}_2$ kao linearnu kombinaciju vektora iz baze $\mathcal B'$).
\end{zad}






\begin{zad}
Odrediti definiciono područje, ekstreme, prevojne tačke, te intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije
$\displaystyle{
y=\frac{4x^2+8x+1}{x+2}
}$.
\end{zad}






%%********************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************
%%***********************************************************





\end{document}