\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=17mm,bottom=10mm]{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae}
\usepackage[croatian, english]{babel}
\usepackage{esint, hvfloat}
%%\usepackage{systeme,mathtools}




\def\R{{\mbox{$\mathbb R$}}}
\def\NN{{\mbox{$\mathbb N$}}}
\def\Z{{\mbox{$\mathbb Z$}}}
\def\Q{{\mbox{$\mathbb Q$}}}
\def\F{{\mbox{$\mathbb F$}}}
\def\C{{\mbox{$\mathbb C$}}}
\def\E{{\mbox{$\mathcal{E}$}}}
\def\M{{\mbox{$\mathcal{M}$}}}
\def\N{{\mbox{$\mathcal{N}$}}}
\def\S{{\mbox{$\mathcal{S}$}}}
\def\L{{\mbox{$\mathcal{L}$}}}
\def\P{{\mbox{$\mathcal{P}$}}}
\def\B{{\mbox{$\mathcal{B}$}}}
\def\X{{\mbox{$\mathcal{X}$}}}
\def\V{{\mbox{$\mathcal{V}$}}}
\def\Y{{\mbox{$\mathcal{Y}$}}}
\def\W{{\mbox{$\mathcal{W}$}}}
\def\dist{{\mbox{\rm dist}}}
\def\span{{\mbox{\rm span}}}
\def\ecc{{\mbox{\rm ecc}}}
\def\max{{\mbox{\rm max}}}
\def\spec{{\mbox{\rm spec}}}
\def\rank{{\mbox{\rm rank}}}
\def\mod{{\mbox{\rm mod}}}
\def\div{{\mbox{\rm div}}}
\def\trag{{\mbox{\rm trag}}}
\def\tr{{\mbox{\rm tr}}}
\def\dim{{\mbox{\rm dim}}}
\def\diag{{\mbox{\rm diag}}}
\def\Mat{{\mbox{\rm Mat}}}
\def\ker{{\mbox{\rm ker}}}
\def\im{{\mbox{\rm im}}}
\def\gcd{{\mbox{\rm gcd}}}
\def\A{{\mbox{$\pmb{A}$}}}
\def\J{{\mbox{$\pmb{J}$}}}
\def\I{{\mbox{$\pmb{I}$}}}
\def\j{{\mbox{$\pmb{j}$}}}
\def\0{{\mbox{\boldmath{$0$}}}}
\def\algmult{{\mbox{\rm alg\,mult}}}
\def\geomult{{\mbox{\rm geo\,mult}}}
\def\char{{\mbox{\rm char}}}
\def\du{{\mbox{\rm \,d$u$}}}
\def\dx{{\mbox{\rm \,d$x$}}}
\def\dt{{\mbox{\rm \,d$t$}}}
\def\dy{{\mbox{\rm \,d$y$}}}
\def\dz{{\mbox{\rm \,d$z$}}}
\def\tg{{\mbox{\rm tg\,}}}
\def\arctg{{\mbox{\rm arc\,tg\,}}}
\def\arcsin{{\mbox{\rm arc\,sin\,}}}
\def\ctg{{\mbox{\rm ctg\,}}}



\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {5mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  
%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}




\raggedright





\includegraphics{logo_unze}


\vspace*{-25mm}
\hspace*{30mm}
\textbf{Univerzitet u Zenici}\\
\hspace*{30mm}
\textbf{Filozofski fakultet}\\
\hspace*{30mm}
Odsjek: Matematika i informatika\\
\hspace*{30mm}
Zenica, 28.09.2015.\\


\vspace*{5mm}
\renewcommand{\thesection}{}
\section{\centerline{Linearna algebra, pismeni ispit}}














\begin{zad}
Neka je $\V$ vektorski prostor svih matrica oblika $2\times 2$ nad poljem realnih brojeva. Neka je $\W_1$ skup matrica oblika
$$
\left(
\begin{matrix} 
x & -x\\
y & z\\
\end{matrix}
\right)
$$
a neka je $\W_2$ skup svih matrica oblika
$$
\left(
\begin{matrix} 
a & b\\
-a & c\\
\end{matrix}
\right)
$$


\hspace*{5mm}
($a$) Dokazati da su $\W_1$ i $\W_2$ potprostori od $\V$.

\hspace*{5mm}
($b$) Odrediti bazu i dimenziju od $\W_1$, $\W_2$, $\W_1+\W_2$ i $\W_1\cap\W_2$.
\end{zad}











\begin{zad}
Linearni operator $T:\V^2(0)\longrightarrow\V^2(0)$ dat je svojom matricom
$$
\left[\begin{matrix} 6&7\\-4&-4\end{matrix}\right]
$$
u bazi $\{\vec{a},\vec{b}\}$ gdje je $\vec{a}=\vec{i}+\vec{j}$, $\vec{b}=2\vec{i}+\vec{j}$.

\vspace*{2mm}
\hspace*{5mm}
(a) Odrediti matricu operatora $T$ u kanonskoj bazi $\{\vec{i},\vec{j}\}$;

\hspace*{5mm}
(b) Odredite sve vektore $\vec{v}\in\V^2(0)$ takav da su vektori $\vec{v}$ i $T(\vec v)$ okomiti.
\end{zad}









\begin{zad}
U unitarnom prostoru $\R^4$, sa standardnim skalarnim proizvodom, zadan je potprostor $\M$ razapet vektorima $(2,1,0,0)^\top$, $(1,1,1,1)^\top$. Nađite jednu bazu za ortogonalni komplement od $\M$ te odredite ortogonalnu projekciju vektora $a=(3,-4,5,-5)^\top$ na $\M$.
\end{zad}




\begin{zad}
Odrediti spektar matrice $$B=A^3+3A^2-A+4I$$ gdje je
$$
A=\left(\begin{matrix} 
-6&10&-10\\-6&8&-6\\-3&3&-1
\end{matrix}\right).
$$
Ustanoviti može li se matrica $B$ dijagonalizirati i je li regularna? (Prisjetimo se: spektar matrice sačinjavaju svojstvene vrijednosti matrice, zajedno sa njihovim algebarskim višestrukostima).
\end{zad}










\vspace*{25mm}
{\textbf{Važno:} Ovaj papir treba predati zajedno s rješenjima zadataka! Prije rješenja prepisati postavku (tekst) zadatka. Svaku formulu koju mislite koristit, u sva 4 zadatka, obavezno napisati, kao i značenja simbola iz formule. Ispit pisati isključivo hemiskom olovkom plave ili crne tinte. Prije predavanja rješenja numerišite svaku stranicu brojem oblika: broj-stranice/broj-strana...}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\newpage
%%\vspace*{5mm}
\centerline{
Zadaci su skinuti sa stranice 
\underline{ff.unze.ba\slash nabokov}.}
\centerline{
Za uočene greške pisati na {\it infoarrt@gmail.com}
}




\end{document}