\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=17mm,bottom=10mm]{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae}
\usepackage[croatian, english]{babel}
\usepackage{esint, hvfloat}
%%\usepackage{systeme,mathtools}




\def\R{{\mbox{$\mathbb R$}}}
\def\NN{{\mbox{$\mathbb N$}}}
\def\Z{{\mbox{$\mathbb Z$}}}
\def\Q{{\mbox{$\mathbb Q$}}}
\def\F{{\mbox{$\mathbb F$}}}
\def\C{{\mbox{$\mathbb C$}}}
\def\E{{\mbox{$\mathcal{E}$}}}
\def\M{{\mbox{$\mathcal{M}$}}}
\def\N{{\mbox{$\mathcal{N}$}}}
\def\S{{\mbox{$\mathcal{S}$}}}
\def\L{{\mbox{$\mathcal{L}$}}}
\def\P{{\mbox{$\mathcal{P}$}}}
\def\B{{\mbox{$\mathcal{B}$}}}
\def\X{{\mbox{$\mathcal{X}$}}}
\def\V{{\mbox{$\mathcal{V}$}}}
\def\Y{{\mbox{$\mathcal{Y}$}}}
\def\W{{\mbox{$\mathcal{W}$}}}
\def\dist{{\mbox{\rm dist}}}
\def\span{{\mbox{\rm span}}}
\def\ecc{{\mbox{\rm ecc}}}
\def\max{{\mbox{\rm max}}}
\def\spec{{\mbox{\rm spec}}}
\def\rank{{\mbox{\rm rank}}}
\def\mod{{\mbox{\rm mod}}}
\def\div{{\mbox{\rm div}}}
\def\trag{{\mbox{\rm trag}}}
\def\tr{{\mbox{\rm tr}}}
\def\dim{{\mbox{\rm dim}}}
\def\diag{{\mbox{\rm diag}}}
\def\Mat{{\mbox{\rm Mat}}}
\def\ker{{\mbox{\rm ker}}}
\def\im{{\mbox{\rm im}}}
\def\gcd{{\mbox{\rm gcd}}}
\def\A{{\mbox{$\pmb{A}$}}}
\def\J{{\mbox{$\pmb{J}$}}}
\def\I{{\mbox{$\pmb{I}$}}}
\def\j{{\mbox{$\pmb{j}$}}}
\def\0{{\mbox{\boldmath{$0$}}}}
\def\algmult{{\mbox{\rm alg\,mult}}}
\def\geomult{{\mbox{\rm geo\,mult}}}
\def\char{{\mbox{\rm char}}}
\def\du{{\mbox{\rm \,d$u$}}}
\def\dx{{\mbox{\rm \,d$x$}}}
\def\r{{\mbox{\rm r}}}
\def\d{{\mbox{\rm d}}}
\def\dt{{\mbox{\rm \,d$t$}}}
\def\dy{{\mbox{\rm \,d$y$}}}
\def\dz{{\mbox{\rm \,d$z$}}}
\def\tg{{\mbox{\rm tg\,}}}
\def\arctg{{\mbox{\rm arc\,tg\,}}}
\def\arcsin{{\mbox{\rm arc\,sin\,}}}
\def\ctg{{\mbox{\rm ctg\,}}}



\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {5mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  
%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}




\raggedright





\includegraphics{logo_unze}


\vspace*{-25mm}
\hspace*{30mm}
\textbf{Univerzitet u Zenici}\\
\hspace*{30mm}
\textbf{Filozofski fakultet}\\
\hspace*{30mm}
Odsjek: Matematika i informatika\\
\hspace*{30mm}
Zenica, 20.02.2015.\\


\vspace*{5mm}
\renewcommand{\thesection}{}
\section{\centerline{Linearna algebra, pismeni ispit}}












\begin{zad}
Neka je $\M$ prostor rješenja homogenog sistema
$$
\begin{aligned}
x_1  & \,\,+\,\, & x_2 &\,\,-\,\,&  x_3 &\,\,-\,\,&  3x_4 &= 0\\
\,  & \,\,\,\,\, & x_2 &\,\,-\,\,&  2x_3 &\,\,-\,\,&  2x_4 &= 0\,\,\, .
\end{aligned}
$$
Odredite neku bazu za $\M^0$, tj. za anihilator od $\M$. Provjerite da li je funkcional $f(x_1,x-2,x-3,x_4)=x_1-2x_2+3x_3-4x_4$ u $\M^0$? (Prisjetimo se: Za podskup $\S\subseteq\V$ definišemo anihilator od $\S$ sa $\S^0=\{f\in\V^*:f(v)=0 \mbox{ za sve } v\in \S\}$, gdje $\V^*$ označava dualni prostor prostora $\V$).
\end{zad}









\begin{zad}
Neka je $T$ linearan operator na prostoru $\R^2$ koji vektoru pridružuje centralnu simetriju (s obzirom na koordinatni početak) njegove ortogonalne projekcije na pravac $y = -x$. Odredite djelovanje linearnog operatora $T$ na proizvoljnom vektoru $\vec{v}=x\vec{i}+y\vec{j}$ i odredite mu matrični prikaz u standardnoj bazi, te u bazi $\{\vec{i}+\vec{j},2\vec{i}+\vec{j}\}$.
\end{zad}









\begin{zad}
Zadan je linearni operator $T:\P_2\rightarrow\P_2$ sa
$$
T(a+bt+ct^2)=\frac{1}{3}(a+2b-c+3bt-2(a-b-c)t^2).
$$

\hspace*{5mm}
a) Odredite matricu operatora $T$ u kanonskoj bazi.

\hspace*{5mm}
b) Ispitati da li je $T$ projektor.

\hspace*{5mm}
c) Odrediti $\r(T)$ i $\d(T)$ (Prisjetimo se: $\r(T)$ i $\d(T)$ predstavljaju rang i defekt operatora $T$ i definiraju se kao brojevi $\r(T) = \dim(\im\, T),$ odnosno $\d(T) = \dim(\ker\,T)$).
\end{zad}




\begin{zad}
Hermitskom matricom $\left[\begin{matrix} 1&a\\b&2\end{matrix}\right]$, kao matricom u kanonskoj bazi, zadan je linearni operator $A:\C^2\longrightarrow\C^2$. Odredite uvjete na koeficijente $a,b\in\C$ ako je poznato da je $0\in\sigma(A)$ (simbol $\sigma(A)$ predstavlja skup svih svojstvenih vrijednosti matrice $A$). Postoji li baza u kojoj se $A$ dijagonalizira? Ako postoji, nađite je.
\end{zad}










\vspace*{25mm}
{\textbf{Važno:} Ovaj papir treba predati zajedno s rješenjima zadataka! Svaku formulu koju mislite koristit, u sva 4 zadatka, obavezno napisati, kao i značenja simbola iz formule. Ispit pisati isključivo hemiskom olovkom plave ili crne tinte. Prije rješenja prepisati postavku (tekst) zadatka.}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\newpage
%%\vspace*{5mm}
\centerline{
Zadaci su skinuti sa stranice 
\underline{ff.unze.ba\slash nabokov}.}
\centerline{
Za uočene greške pisati na {\it infoarrt@gmail.com}
}




\end{document}