\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=17mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae}
\usepackage[croatian, english]{babel}
\usepackage{esint, hvfloat}




\def\R{{\mbox{$\mathbb R$}}}
\def\Z{{\mbox{$\mathbb Z$}}}
\def\Q{{\mbox{$\mathbb Q$}}}
\def\F{{\mbox{$\mathbb F$}}}
\def\C{{\mbox{$\mathbb C$}}}
\def\E{{\mbox{$\mathcal{E}$}}}
\def\M{{\mbox{$\mathcal{M}$}}}
\def\N{{\mbox{$\mathcal{N}$}}}
\def\S{{\mbox{$\mathcal{S}$}}}
\def\L{{\mbox{$\mathcal{L}$}}}
\def\P{{\mbox{$\mathcal{P}$}}}
\def\B{{\mbox{$\mathcal{B}$}}}
\def\X{{\mbox{$\mathcal{X}$}}}
\def\V{{\mbox{$\mathcal{V}$}}}
\def\Y{{\mbox{$\mathcal{Y}$}}}
\def\W{{\mbox{$\mathcal{W}$}}}
\def\dist{{\mbox{\rm dist}}}
\def\span{{\mbox{\rm span}}}
\def\ecc{{\mbox{\rm ecc}}}
\def\max{{\mbox{\rm max}}}
\def\spec{{\mbox{\rm spec}}}
\def\rank{{\mbox{\rm rank}}}
\def\mod{{\mbox{\rm mod}}}
\def\div{{\mbox{\rm div}}}
\def\trag{{\mbox{\rm trag}}}
\def\tr{{\mbox{\rm tr}}}
\def\dim{{\mbox{\rm dim}}}
\def\diag{{\mbox{\rm diag}}}
\def\Mat{{\mbox{\rm Mat}}}
\def\ker{{\mbox{\rm ker}}}
\def\im{{\mbox{\rm im}}}
\def\gcd{{\mbox{\rm gcd}}}
\def\A{{\mbox{$\pmb{A}$}}}
\def\J{{\mbox{$\pmb{J}$}}}
\def\I{{\mbox{$\pmb{I}$}}}
\def\j{{\mbox{$\pmb{j}$}}}
\def\0{{\mbox{\boldmath{$0$}}}}
\def\algmult{{\mbox{\rm alg\,mult}}}
\def\geomult{{\mbox{\rm geo\,mult}}}
\def\char{{\mbox{\rm char}}}
\def\du{{\mbox{\rm \,d$u$}}}
\def\dx{{\mbox{\rm \,d$x$}}}
\def\dt{{\mbox{\rm \,d$t$}}}
\def\dy{{\mbox{\rm \,d$y$}}}
\def\dz{{\mbox{\rm \,d$z$}}}
\def\tg{{\mbox{\rm tg\,}}}
\def\arctg{{\mbox{\rm arc\,tg\,}}}
\def\arcsin{{\mbox{\rm arc\,sin\,}}}
\def\ctg{{\mbox{\rm ctg\,}}}



\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {5mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  
%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}




\raggedright





\includegraphics{logo_unze}


\vspace*{-25mm}
\hspace*{30mm}
\textbf{Univerzitet u Zenici}\\
\hspace*{30mm}
\textbf{Filozofski fakultet}\\
\hspace*{30mm}
Odsjek: Matematika i informatika\\
\hspace*{30mm}
Zenica, 25.03.2014.\\


\vspace*{5mm}
\renewcommand{\thesection}{}
\section{\centerline{Apsolventski pismeni ispit iz Linearne algebre}}




\vspace*{5mm}
{\large \textbf{Pravila:} Svaku formulu koju mislite koristit, u sva 4 zadatka, obavezno napisati, kao i značenja simbola iz formule. Ispit pisati isključivo hemiskom olovkom plave ili crne tinte. Prije rješenja prepisati postavku (tekst) zadatka.}\\





\begin{zad}
Neka je $\V=\R^n$ i neka je $(a_1,a_2,...,a_n)^\top$ fiksirani vektor iz $\V$. Dokazati da je familija svih elemenata $(x_1,x_2,...,x_n)^\top$ iz $\V$ sa osobinom $a_1x_1+...+a_nx_n=0$ vektorski podprostor prostora $\V$. Drugim riječima da je
$$
\M=\{(x_1,x_2,...,x_n)^\top\in\V\,|\,a_1x_1+...+a_nx_n=0\}
$$
vektorski podprostor od $\V$. Odrediti bazu i dimenziju ovog podprostora.
\end{zad}





\begin{zad}
Zadana je linearna transformacija $T:\P_2\longrightarrow \Mat_{2\times 2}(\R)$ 
$$
T(a+bt+ct^2)=
\left(
\begin{matrix} 
a-2b & b+c\\
-2a-4c & -2a+4b
\end{matrix}
\right)
$$
Prikažite transformaciju $T$ u paru standardnih baza (drugim riječima odrediti matricu koordinata $[T]_{{\cal SS}'}$ gdje su ${\cal S}$ i ${\cal S}$' redom standardne baze za $\P_2$ i $\Mat_{2\times 2}(\R)$) te odredite po jednu bazu za jezgru i sliku od $T$ ($\P_2$ je prostor realnih polinoma stepena $\le 2$).
\end{zad}









\begin{zad}
Dat je vektorski prostor $\L$ vektorskog prostora 
$\Mat_{2\times 2}(\R)$ definisan sa
$$
\L=\{A\in\Mat_{2\times 2}(\R)\,|\,AX-XA=\0,
X=\left[
\begin{matrix} 
0 & 1\\
2 & 0\\
\end{matrix}
\right]\}.
$$
Razmatrajući standardni unutrašnji proizvod za matrice 
$
\langle A,B\rangle=\trag(A^\top B)
$
odrediti ortonormiranu bazu za $\L.$
\end{zad}














\begin{zad}
Neka je $\M=\span\{a,b\}$ podprostor unitarnog prostora $\R^n$ (sa standardnim skalarnim proizvodom) razapet (generisan) vektorima $a=(0,1,2,...,n-1)^\top$ i $b=(1,1,1,...,1)^\top$. Odrediti njegov ortogonalni komplement $\M^\bot$ te odredite ortogonalnu projekciju od $z$ na $\M$ gdje je
$$
z=(\frac{1}{2}n(3-n),\frac{1}{2}n(n-1),0,0,...,0)^\top\in\R^n.
$$
\end{zad}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\newpage
%%\vspace*{5mm}
\centerline{
Zadaci su skinuti sa stranice 
\underline{ff.unze.ba\slash nabokov}.}
\centerline{
Za uočene greške pisati na {\it infoarrt@gmail.com}
}




\end{document}