\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=17mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae}
\usepackage[croatian, english]{babel}
\usepackage{esint, hvfloat}




\def\R{{\mbox{$\mathbb R$}}}
\def\Z{{\mbox{$\mathbb Z$}}}
\def\Q{{\mbox{$\mathbb Q$}}}
\def\F{{\mbox{$\mathbb F$}}}
\def\C{{\mbox{$\mathbb C$}}}
\def\E{{\mbox{$\mathcal{E}$}}}
\def\M{{\mbox{$\mathcal{M}$}}}
\def\N{{\mbox{$\mathcal{N}$}}}
\def\S{{\mbox{$\mathcal{S}$}}}
\def\L{{\mbox{$\mathcal{L}$}}}
\def\P{{\mbox{$\mathcal{P}$}}}
\def\B{{\mbox{$\mathcal{B}$}}}
\def\X{{\mbox{$\mathcal{X}$}}}
\def\V{{\mbox{$\mathcal{V}$}}}
\def\Y{{\mbox{$\mathcal{Y}$}}}
\def\W{{\mbox{$\mathcal{W}$}}}
\def\dist{{\mbox{\rm dist}}}
\def\span{{\mbox{\rm span}}}
\def\ecc{{\mbox{\rm ecc}}}
\def\max{{\mbox{\rm max}}}
\def\spec{{\mbox{\rm spec}}}
\def\rank{{\mbox{\rm rank}}}
\def\mod{{\mbox{\rm mod}}}
\def\div{{\mbox{\rm div}}}
\def\trag{{\mbox{\rm trag}}}
\def\tr{{\mbox{\rm tr}}}
\def\dim{{\mbox{\rm dim}}}
\def\diag{{\mbox{\rm diag}}}
\def\Mat{{\mbox{\rm Mat}}}
\def\ker{{\mbox{\rm ker}}}
\def\im{{\mbox{\rm im}}}
\def\gcd{{\mbox{\rm gcd}}}
\def\A{{\mbox{$\pmb{A}$}}}
\def\J{{\mbox{$\pmb{J}$}}}
\def\I{{\mbox{$\pmb{I}$}}}
\def\j{{\mbox{$\pmb{j}$}}}
\def\0{{\mbox{\boldmath{$0$}}}}
\def\algmult{{\mbox{\rm alg\,mult}}}
\def\geomult{{\mbox{\rm geo\,mult}}}
\def\char{{\mbox{\rm char}}}
\def\du{{\mbox{\rm \,d$u$}}}
\def\dx{{\mbox{\rm \,d$x$}}}
\def\dt{{\mbox{\rm \,d$t$}}}
\def\dy{{\mbox{\rm \,d$y$}}}
\def\dz{{\mbox{\rm \,d$z$}}}
\def\tg{{\mbox{\rm tg\,}}}
\def\arctg{{\mbox{\rm arc\,tg\,}}}
\def\arcsin{{\mbox{\rm arc\,sin\,}}}
\def\ctg{{\mbox{\rm ctg\,}}}



\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {5mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  
%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}




\raggedright





\includegraphics{logo_unze}


\vspace*{-25mm}
\hspace*{30mm}
\textbf{Univerzitet u Zenici}\\
\hspace*{30mm}
\textbf{Filozofski fakultet}\\
\hspace*{30mm}
Odsjek: Matematika i informatika\\
\hspace*{30mm}
Zenica, 17.02.2014.\\


\vspace*{5mm}
\renewcommand{\thesection}{}
\section{\centerline{Pismeni ispit iz Linearne algebre}}




\vspace*{5mm}
{\large \textbf{Pravila:} Svaku formulu koju mislite koristit, u sva 4 zadatka, obavezno napisati, kao i značenja simbola iz formule. Ispit pisati isključivo hemiskom olovkom plave ili crne tinte. Prije rješenja prepisati postavku (tekst) zadatka.}\\





\begin{zad}
Neka je $\V$ vektorski prostor $\R^3$ generisan vektorima $x_1,x_2,x_3$ ($x_1$, $x_2$ i $x_3$ su linearno nezavisni vektori)
$$
\V=span\left\{
x_1=
\left(
\begin{matrix} 
1\\
-1\\
3
\end{matrix}
\right),
x_2=
\left(
\begin{matrix} 
0\\
1\\
-1
\end{matrix}
\right),
x_3=
\left(
\begin{matrix} 
0\\
3\\
-2
\end{matrix}
\right)
\right\}
$$
Ovo znači da za $\forall v\in\V$ $\exists$ jedinstveni $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\R$ t.d.
$
v=\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\alpha_3x_3.
$
Sa $\V^*$ označimo skup svih linearnih preslikavanja sa $\V$ u $\R$ tj.
$$
\V^*=\L(\V,\R)=\{T:\V\rightarrow\R\,\, |\,\, T \mbox{ je linearno}\}
$$
i za svako $j\in\{1,2,3\}$ definišimo $T_{j}\in\V^*$ sa
$$
T_j(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)=a_j
$$
(50$\%$)($a$) Pokazati da je $\B^*=\{T_1,T_2,T_3\}$ baza za $\V^*$.


(50$\%$)($b$) Odrediti $T_1$, $T_2$ i $T_3$.

\vspace*{2mm}
{\bf{Napomena:}} Rješenja za ($a$) i ($b$) su nezavisna jedno od drugog. Prostor $\V^*$ se naziva dualni prostor prostora $\V$, a baza $\B^*$ se naziva dualna baza baze $\B$.
\end{zad}





\begin{zad}
Posmatrajmo operator $T:\P_3\longrightarrow \P_3$ na realnom vektorskom prostoru $\P_3$ svih polinoma sa realnim koeficijentima i stepena najviše 3, gdje za svaki polinom $p(x)$ iz $\P_3$ imamo $T(p(x))=x\,p'(x)$, proizvod $x$-a sa izvodom $p'(x)$. Pokazati da je $T$ linearni operator . Odrediti matricu (koordinata) $A$ za operator $T$ u odnosu na bazu $\B=\{1,x,x^2,x^3\}$ i izračunati $A[q(x)]_{\cal B}$ gdje je $q(x)=q_0+q_1x+q_2x^2+q_3x^3$.
\end{zad}








\begin{zad}
Data je matrica $A\in\Mat_{n\times n}(\R)$. U $\R^n$ definišimo proizvod sa 
$$
\langle x,y\rangle=(Ax)^{\top} Ay
$$
($a$) Diskutovati za kakve matrice $A$ je dati proizvod unutrašnji proizvod.

($b$) Diskutovati za kakve matrice $A$, za dati proizvod vrijedi jednakost $\langle x,y\rangle=x^{\top} y$.
\end{zad}














\begin{zad}
U unitarnom prostoru $\R^4$, sa standardnim skalarnim proizvodom, zadan je podprostor $\M$ razapet vektorima $(2,1,0,0)^\top$, $(1,1,1,1)^\top$. Nađite jednu bazu za ortogonalni komplement od $\M$ te odredite ortogonalnu projekciju vektora $a=(3,-4,5,-5)^\top$ na $\M$.
\end{zad}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\newpage
%%\vspace*{5mm}
\centerline{
Zadaci su skinuti sa stranice 
\underline{pf.unze.ba\slash nabokov}.}
\centerline{
Za uočene greške pisati na {\it infoarrt@gmail.com}
}




\end{document}