\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=17mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae}
\usepackage[croatian, english]{babel}
\usepackage{esint, hvfloat}




\def\R{{\mbox{$\mathbb R$}}}
\def\Z{{\mbox{$\mathbb Z$}}}
\def\Q{{\mbox{$\mathbb Q$}}}
\def\F{{\mbox{$\mathbb F$}}}
\def\C{{\mbox{$\mathbb C$}}}
\def\E{{\mbox{$\mathcal{E}$}}}
\def\M{{\mbox{$\mathcal{M}$}}}
\def\S{{\mbox{$\mathcal{S}$}}}
\def\L{{\mbox{$\mathcal{L}$}}}
\def\P{{\mbox{$\mathcal{P}$}}}
\def\B{{\mbox{$\mathcal{B}$}}}
\def\X{{\mbox{$\mathcal{X}$}}}
\def\V{{\mbox{$\mathcal{V}$}}}
\def\Y{{\mbox{$\mathcal{Y}$}}}
\def\W{{\mbox{$\mathcal{W}$}}}
\def\dist{{\mbox{\rm dist}}}
\def\span{{\mbox{\rm span}}}
\def\ecc{{\mbox{\rm ecc}}}
\def\max{{\mbox{\rm max}}}
\def\spec{{\mbox{\rm spec}}}
\def\rank{{\mbox{\rm rank}}}
\def\mod{{\mbox{\rm mod}}}
\def\div{{\mbox{\rm div}}}
\def\trag{{\mbox{\rm trag}}}
\def\tr{{\mbox{\rm tr}}}
\def\dim{{\mbox{\rm dim}}}
\def\diag{{\mbox{\rm diag}}}
\def\Mat{{\mbox{\rm Mat}}}
\def\ker{{\mbox{\rm ker}}}
\def\gcd{{\mbox{\rm gcd}}}
\def\A{{\mbox{$\pmb{A}$}}}
\def\J{{\mbox{$\pmb{J}$}}}
\def\I{{\mbox{$\pmb{I}$}}}
\def\j{{\mbox{$\pmb{j}$}}}
\def\0{{\mbox{\boldmath{$0$}}}}
\def\algmult{{\mbox{\rm alg\,mult}}}
\def\geomult{{\mbox{\rm geo\,mult}}}
\def\char{{\mbox{\rm char}}}
\def\du{{\mbox{\rm \,d$u$}}}
\def\dx{{\mbox{\rm \,d$x$}}}
\def\dt{{\mbox{\rm \,d$t$}}}
\def\dy{{\mbox{\rm \,d$y$}}}
\def\dz{{\mbox{\rm \,d$z$}}}
\def\tg{{\mbox{\rm tg\,}}}
\def\arctg{{\mbox{\rm arc\,tg\,}}}
\def\arcsin{{\mbox{\rm arc\,sin\,}}}
\def\ctg{{\mbox{\rm ctg\,}}}



\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {5mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  
%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}




\raggedright





\includegraphics{logo_unze}


\vspace*{-25mm}
\hspace*{30mm}
\textbf{Univerzitet u Zenici}\\
\hspace*{30mm}
\textbf{Pedagoški fakultet}\\
\hspace*{30mm}
Odsjek: Matematika i informatika\\
\hspace*{30mm}
Zenica, 23.09.2013.\\


\vspace*{5mm}
\renewcommand{\thesection}{}
\section{\centerline{Pismeni ispit iz predmeta Linearna algebra}}




\vspace*{5mm}
{\large \textbf{Bitna napomena:} Svaku formulu koju mislite koristit, u sva 4 zadatka, obavezno napisati, kao i značenja simbola iz formule. Ispit pisati isključivo hemiskom olovkom plave ili crne tinte. Prije rješenja prepisati postavku (tekst) zadatka.}\\




\begin{zad}
Neka je $\V=\R^n$ i neka je $(a_1,a_2,...,a_n)^\top$ fiksirani vektor iz $\V$. Dokazati da je familija svih elemenata $(x_1,x_2,...,x_n)^\top$ iz $\V$ sa osobinom $a_1x_1+...+a_nx_n=0$ vektorski podprostor prostora $\V$. Drugim riječima da je
$$
\M=\{(x_1,x_2,...,x_n)^\top\in\V\,|\,a_1x_1+...+a_nx_n=0\}
$$
vektorski podprostor od $\V$. Odrediti bazu i dimenziju ovog podprostora.
\end{zad}

\begin{zad}
Posmatrajmo vektorski prostor $\Mat_{m\times n}(\R)$ svih $m\times n$ matrica. Pokazati da je funkcija definisana sa 
$$
\langle A,B\rangle=\trag(A^\top B)
$$
unutrašnji (skalarni) proizvod na prostoru $\Mat_{m\times n}(\R)$.
\end{zad}



\begin{zad}
Posmatrajmo sljedeći skup od tri vektora
$$
\left\{
x_1=\left(
\begin{matrix} 1\\ -1\\ 0\\ 2\end{matrix}
\right),
x_2=\left(
\begin{matrix} 1\\ 1\\ 1\\ 0\end{matrix}
\right),
x_3=\left(
\begin{matrix} -1\\ -1\\ 2\\ 0\end{matrix}
\right)
\right\}
$$


\hspace*{5mm}(20\%)($a$) Koristeći standardni unutrašnji proizvod u $\R^4$ provjeriti da li su ovi vektori međusobno ortogonalni.


\hspace*{5mm}(50\%)($b$) Pronaći nenula vektor $x_4$ tako da je $\{x_1,x_2,x_3,x_4\}$ skup međusobno ortogonalnih vektora.


\hspace*{5mm}(30\%)($c$) Pretvoriti dobijeni skup u ortonormiranu bazu za $\R^4$.
\end{zad}




\begin{zad}
Zadana je linearna transformacija $T:\P_2\longrightarrow\Mat_{2\times 2}(\R)$:
$$
T(p)=
\left(
\begin{matrix} 
p(0) & p(-1)\\
p(1) & p(2)\\
\end{matrix}
\right).
$$
Prikažite transformaciju $T$ u paru standardnih baza (drugim riječima odredite matricu koordinata od $T\in\L(\S,\S')$) u odnosu na par $(\S,\S')$, gdje su $\S$ i $\S'$, redom, standardne baze za $\P_2$ i $\Mat_{2\times 2}(\R)$, te mu odredite po jednu bazu za jezgru i sliku. Da li postoji polinom $q\in\P_2$ takav da je 
$T(q)=
\left(
\begin{matrix} 
2 & 1\\
5 & 4\\
\end{matrix}
\right)$? ($\P_2$ je prostor polinoma stepena $\le 2$).
\end{zad}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\newpage
%%\vspace*{5mm}
\centerline{
Zadaci su skinuti sa stranice 
\underline{pf.unze.ba\slash nabokov}.}
\centerline{
Za uočene greške pisati na {\it infoarrt@gmail.com}
}




\end{document}