\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=17mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae}
\usepackage[croatian, english]{babel}
\usepackage{esint, hvfloat}




\def\R{{\mbox{$\mathbb R$}}}
\def\Z{{\mbox{$\mathbb Z$}}}
\def\Q{{\mbox{$\mathbb Q$}}}
\def\F{{\mbox{$\mathbb F$}}}
\def\C{{\mbox{$\mathbb C$}}}
\def\E{{\mbox{$\mathcal{E}$}}}
\def\M{{\mbox{$\mathcal{M}$}}}
\def\S{{\mbox{$\mathcal{S}$}}}
\def\L{{\mbox{$\mathcal{L}$}}}
\def\P{{\mbox{$\mathcal{P}$}}}
\def\B{{\mbox{$\mathcal{B}$}}}
\def\X{{\mbox{$\mathcal{X}$}}}
\def\V{{\mbox{$\mathcal{V}$}}}
\def\Y{{\mbox{$\mathcal{Y}$}}}
\def\W{{\mbox{$\mathcal{W}$}}}
\def\dist{{\mbox{\rm dist}}}
\def\span{{\mbox{\rm span}}}
\def\ecc{{\mbox{\rm ecc}}}
\def\max{{\mbox{\rm max}}}
\def\spec{{\mbox{\rm spec}}}
\def\rank{{\mbox{\rm rank}}}
\def\mod{{\mbox{\rm mod}}}
\def\div{{\mbox{\rm div}}}
\def\trag{{\mbox{\rm trag}}}
\def\tr{{\mbox{\rm tr}}}
\def\dim{{\mbox{\rm dim}}}
\def\diag{{\mbox{\rm diag}}}
\def\Mat{{\mbox{\rm Mat}}}
\def\ker{{\mbox{\rm ker}}}
\def\gcd{{\mbox{\rm gcd}}}
\def\A{{\mbox{$\pmb{A}$}}}
\def\J{{\mbox{$\pmb{J}$}}}
\def\I{{\mbox{$\pmb{I}$}}}
\def\j{{\mbox{$\pmb{j}$}}}
\def\0{{\mbox{\boldmath{$0$}}}}
\def\algmult{{\mbox{\rm alg\,mult}}}
\def\geomult{{\mbox{\rm geo\,mult}}}
\def\char{{\mbox{\rm char}}}
\def\du{{\mbox{\rm \,d$u$}}}
\def\dx{{\mbox{\rm \,d$x$}}}
\def\dt{{\mbox{\rm \,d$t$}}}
\def\dy{{\mbox{\rm \,d$y$}}}
\def\dz{{\mbox{\rm \,d$z$}}}
\def\tg{{\mbox{\rm tg\,}}}
\def\arctg{{\mbox{\rm arc\,tg\,}}}
\def\arcsin{{\mbox{\rm arc\,sin\,}}}
\def\ctg{{\mbox{\rm ctg\,}}}



\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {3mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {3mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  
%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}




\raggedright





\includegraphics{logo_unze}


\vspace*{-25mm}
\hspace*{30mm}
\textbf{Univerzitet u Zenici}\\
\hspace*{30mm}
\textbf{Pedagoški fakultet}\\
\hspace*{30mm}
Odsjek: Matematika i informatika\\
\hspace*{30mm}
Zenica, 01.07.2013.\\


\vspace*{5mm}
\renewcommand{\thesection}{}
\section{\centerline{Pismeni ispit iz predmeta Linearna algebra}}




\vspace*{5mm}
\textbf{Bitna napomena:} Svaku formulu koju mislite koristit, u sva 4 zadatka, obavezno napisati, kao i značenja simbola iz formule. Ispit pisati isključivo hemiskom olovkom plave ili crne tinte. Prije rješenja prepisati postavku (tekst) zadatka.\\




\begin{zad}
Neka je $\L=\{ (x_1,x_2,x_3,x_4)\in\R^4 : x_1+x_2=0,\, x_1+x_2+x_3=0,\, x_1+x_2+x_3+x_4=0 \}$. Dokazati da je $\L$ podprostor od $\R^4$, odrediti mu bazu, dimenziju i neki direktni komplement (koji nije ortogonalni komplement).
\end{zad}

\begin{zad}
(20\%)($a$) Neka je
$$
T:\R^3\longrightarrow\R^3
$$
linearni operator definisan sa
$$
T(x,y,z)=(x-y,z,y-x).
$$
Odrediti jezgru i sliku od $T$ i izračunati njihove dimenzije.\\


\hspace*{5mm}(80\%)($b$)
Na vektorskom prostoru $\R_2[x]$ (polinoma sa realnim koeficijentima stepena najviše 2) zadan je linearni operator sa 
$$
D_{\alpha}(p(x))=\frac{1}{\alpha}(p(x+\alpha)-p(x)),\,\,\,\,
\alpha\in\R,\,\alpha\not=0.
$$
Odrediti jezgru i sliku od $D_\alpha$.
\end{zad}



\begin{zad}
Neka je $T$ linearni operator na prostoru $\R^2$ koji djeluje tako da vektor prvo zarotira za ugao $\frac{\pi}{2}$ u pozitivnom sjeru, pa dobijeni vektor zatim reflektuje u odnosu na $x$-osu.

\hspace*{5mm}
($a$) Odrediti matricu operatora $T$ (tj., matricu koordinata od $T$) u bazi $\B=\left\{
\left(
\begin{matrix} 
1\\
1\\
\end{matrix}
\right),
\left(
\begin{matrix} 
2\\
1\\
\end{matrix}
\right)
\right\}$. 


\hspace*{5mm}
($b$) Odrediti $v\in\R^2$ takav da $T(v)=v$ i $\Vert v\Vert=2\sqrt{2}$.
\end{zad}




\begin{zad}
Dat je unitarni prostor $\P_3$, polinoma stepena $\le 3$, sa skalarnim (unutrašnjim) proizvodom
$$
\langle p,q \rangle=\int_0^1 p(x)q(x)\,\dx.
$$
Neka je $\L$ podprostor unitarnog prostora $\P_3$, generisan vektorima $p_1(x)=1-x$ i $p_2(x)=x^2-x$. Odrediti neku bazu za ortogonalni kompliment od $\L$. Nadalje, prikažite $p(x)=1-2x+5x^3$ u obliku $q(x)+r(x)$, gdje je $q\in\L$, a $r\in\L^\bot$.
\end{zad}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\newpage
%%\vspace*{5mm}
\centerline{
Zadaci su skinuti sa stranice 
\underline{pf.unze.ba\slash nabokov}.}
\centerline{
Za uočene greške pisati na {\it infoarrt@gmail.com}
}




\end{document}