\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=17mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{ae}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{lmodern} 
\usepackage[croatian, english]{babel}




\def\R{{\mbox{$\mathbb R$}}}
\def\Z{{\mbox{$\mathbb Z$}}}
\def\Q{{\mbox{$\mathbb Q$}}}
\def\F{{\mbox{$\mathbb F$}}}
\def\C{{\mbox{$\mathbb C$}}}
\def\E{{\mbox{$\mathcal{E}$}}}
\def\M{{\mbox{$\mathcal{M}$}}}
\def\S{{\mbox{$\mathcal{S}$}}}
\def\L{{\mbox{$\mathcal{L}$}}}
\def\P{{\mbox{$\mathcal{P}$}}}
\def\B{{\mbox{$\mathcal{B}$}}}
\def\X{{\mbox{$\mathcal{X}$}}}
\def\V{{\mbox{$\mathcal{V}$}}}
\def\Y{{\mbox{$\mathcal{Y}$}}}
\def\W{{\mbox{$\mathcal{W}$}}}
\def\dist{{\mbox{\rm dist}}}
\def\span{{\mbox{\rm span}}}
\def\ecc{{\mbox{\rm ecc}}}
\def\max{{\mbox{\rm max}}}
\def\spec{{\mbox{\rm spec}}}
\def\rank{{\mbox{\rm rank}}}
\def\mod{{\mbox{\rm mod}}}
\def\div{{\mbox{\rm div}}}
\def\trag{{\mbox{\rm trag}}}
\def\tr{{\mbox{\rm tr}}}
\def\dim{{\mbox{\rm dim}}}
\def\diag{{\mbox{\rm diag}}}
\def\Mat{{\mbox{\rm Mat}}}
\def\ker{{\mbox{\rm ker}}}
\def\gcd{{\mbox{\rm gcd}}}
\def\A{{\mbox{$\pmb{A}$}}}
\def\J{{\mbox{$\pmb{J}$}}}
\def\I{{\mbox{$\pmb{I}$}}}
\def\j{{\mbox{$\pmb{j}$}}}
\def\0{{\mbox{\boldmath{$0$}}}}
\def\algmult{{\mbox{\rm alg\,mult}}}
\def\geomult{{\mbox{\rm geo\,mult}}}
\def\char{{\mbox{\rm char}}}
\def\du{{\mbox{\rm \,d$u$}}}
\def\dx{{\mbox{\rm \,d$x$}}}
\def\dt{{\mbox{\rm \,d$t$}}}
\def\dy{{\mbox{\rm \,d$y$}}}
\def\dz{{\mbox{\rm \,d$z$}}}
\def\tg{{\mbox{\rm tg\,}}}
\def\arctg{{\mbox{\rm arc\,tg\,}}}
\def\arcsin{{\mbox{\rm arc\,sin\,}}}
\def\ctg{{\mbox{\rm ctg\,}}}




\setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}




\raggedright





\includegraphics{logo_unze}


\vspace*{-25mm}
\hspace*{30mm}
\textbf{Univerzitet u Zenici}\\
\hspace*{30mm}
\textbf{Pedago\v ski fakultet}\\
\hspace*{30mm}
Odsjek: Matematika i informatika\\
\hspace*{30mm}
Zenica, 14.02.2013.\\


\vspace*{10mm}
\centerline {Pismeni ispit iz predmeta 
\textbf{Linearna algebra}}




\vspace*{5mm}
\textbf{Bitna napomena:} Svaku formulu koju mislite koristit, u sva 4 zadatka, obavezno napisati, kao i značenja simbola iz formule. Ispit pisati isključivo hemiskom olovkom plave ili crne tinte. Prije rješenja prepisati postavku (tekst) zadatka.\\




\vspace*{5mm}
\textbf {1.}
\hspace*{5mm}
Dat je vektorski prostor $\R^+$ (svih pozitivnih realnih brojeva) nad poljem $\R$, na kome su operacije sabiranja vektora i množenje vektora skalarom definisane na sljedeći način
$$
\mbox{ vektorsko sabiranje: } \forall u,v\in\R^+\,\,\,\,\, u+v=uv;
$$
$$
\mbox{ množenje skalarom: } \forall u\in \R^+, \forall \alpha\in\R \,\,\,\,\, \alpha u=u^\alpha.
$$
Odrediti bazu i dimenziju ovog vektorskog prostora. Odgovor obrazložiti.\\



\vspace*{5mm}
\textbf {2.}
\hspace*{5mm}
Neka je $T$ linearni operator na prostoru $\R^2$ koji vektor najprije rotira za ugao $\pi/3$ oko koordinatnog početka u pozitivnom smjeru, a zatim reflektuje (zrcali) u odnosu na pravac $y=x$. Izračunati matricu operatora $T$ (drugim riječima matricu koordinata od $T$) u bazi 
$\B=\{(1,1)^\top,(1,-1)^\top\}$. Odredite koordinate tačke $T(v)$ u odnosu na ovu bazu, gdje je $v$ proizvoljan element iz $\R^2$.\\








\vspace*{5mm}
\textbf{3.}
\hspace*{5mm}
U unitarnom prostoru $\P_2=\{p(x)=ax^2+bx+c: a,b,c\in\R\}$ polinoma stepena manjeg ili jednakog 2 sa skalarnim (unutrašnjim) proizvodom $\langle p,q\rangle=\int_{-1}^1 p(x) q(x)\,\dx$ dat je podprostor
$$
\M=\span\{x^2-1,x+1\}.
$$
Odredite jednu bazu za $\M^\bot$, te nađite prikaz polinoma $p(x)=2x^2+x+5$ u obliku sume $p=p_1+p_2$, pri čemu je $p_1\in\M$, $p_2\in\M^\bot$.




\vspace*{5mm}
\textbf {4.}
\hspace*{5mm}
Zadana je linearna transformacija $T:\P_2\longrightarrow\Mat_{2\times 2}(\R)$:
$$
T(p)=
\left(
\begin{matrix} 
p(0) & p(-1)\\
p(1) & p(2)\\
\end{matrix}
\right).
$$
Prikažite transformaciju $T$ u paru standardnih baza (drugim riječima odredite matricu koordinata od $T\in\L(\S,\S')$) u odnosu na par $(\S,\S')$, gdje su $\S$ i $\S'$, redom, standardne baze za $\P_2$ i $\Mat_{2\times 2}(\R)$, te mu odredite po jednu bazu za jezgru i sliku. Da li postoji polinom $q\in\P_2$ takav da je 
$T(q)=
\left(
\begin{matrix} 
2 & 1\\
5 & 4\\
\end{matrix}
\right)$? ($\P_2$ je prostor polinoma stepena $\le 2$).



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\newpage
%%\vspace*{5mm}
\centerline{
Zadaci su skinuti sa stranice 
\underline{pf.unze.ba\slash nabokov}.}
\centerline{
Za uočene greške pisati na {\it infoarrt@gmail.com}
}




\end{document}