\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=17mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{ae}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{lmodern} 
\usepackage[croatian, english]{babel}




\def\R{{\mbox{$\mathbb R$}}}
\def\Z{{\mbox{$\mathbb Z$}}}
\def\Q{{\mbox{$\mathbb Q$}}}
\def\F{{\mbox{$\mathbb F$}}}
\def\C{{\mbox{$\mathbb C$}}}
\def\E{{\mbox{$\mathcal{E}$}}}
\def\M{{\mbox{$\mathcal{M}$}}}
\def\L{{\mbox{$\mathcal{L}$}}}
\def\B{{\mbox{$\mathcal{B}$}}}
\def\X{{\mbox{$\mathcal{X}$}}}
\def\V{{\mbox{$\mathcal{V}$}}}
\def\Y{{\mbox{$\mathcal{Y}$}}}
\def\W{{\mbox{$\mathcal{W}$}}}
\def\dist{{\mbox{\rm dist}}}
\def\span{{\mbox{\rm span}}}
\def\ecc{{\mbox{\rm ecc}}}
\def\max{{\mbox{\rm max}}}
\def\spec{{\mbox{\rm spec}}}
\def\rank{{\mbox{\rm rank}}}
\def\mod{{\mbox{\rm mod}}}
\def\div{{\mbox{\rm div}}}
\def\trag{{\mbox{\rm trag}}}
\def\tr{{\mbox{\rm tr}}}
\def\dim{{\mbox{\rm dim}}}
\def\diag{{\mbox{\rm diag}}}
\def\Mat{{\mbox{\rm Mat}}}
\def\ker{{\mbox{\rm ker}}}
\def\gcd{{\mbox{\rm gcd}}}
\def\A{{\mbox{$\pmb{A}$}}}
\def\J{{\mbox{$\pmb{J}$}}}
\def\I{{\mbox{$\pmb{I}$}}}
\def\j{{\mbox{$\pmb{j}$}}}
\def\0{{\mbox{\boldmath{$0$}}}}
\def\algmult{{\mbox{\rm alg\,mult}}}
\def\geomult{{\mbox{\rm geo\,mult}}}
\def\char{{\mbox{\rm char}}}




\setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}




\raggedright





\includegraphics{logo_unze}


\vspace*{-25mm}
\hspace*{30mm}
\textbf{Univerzitet u Zenici}\\
\hspace*{30mm}
\textbf{Pedago\v ski fakultet}\\
\hspace*{30mm}
Odsjek: Matematika i informatika\\
\hspace*{30mm}
Zenica, 31.01.2013.\\


\vspace*{10mm}
\centerline {Pismeni ispit iz predmeta 
\textbf{Linearna algebra}}




\vspace*{5mm}
\textbf{Bitna napomena:} Svaku formulu koju mislite koristit, u sva 4 zadatka, obavezno napisati, kao i značenja simbola iz formule. Ispit pisati isključivo hemiskom olovkom plave ili crne tinte. Prije rješenja prepisati postavku (tekst) zadatka.\\




\vspace*{5mm}
\textbf {1.}
\hspace*{5mm}
Neka je $\V=\R^n$ i neka je $(a_1,a_2,...,a_n)^\top$ fiksirani vektor iz $\V$. Dokazati da je familija svih elemenata $(x_1,x_2,...,x_n)^\top$ iz $\V$ sa osobinom $a_1x_1+...+a_nx_n=0$ vektorski podprostor prostora $\V$. Drugim riječima da je
$$
\M=\{(x_1,x_2,...,x_n)^\top\in\V\,|\,a_1x_1+...+a_nx_n=0\}
$$
vektorski podprostor od $\V$. Odrediti bazu i dimenziju ovog podprostora.\\





\vspace*{5mm}
\textbf {2.}
\textbf {(a)}
\hspace*{5mm}
Neka je $\varphi$ linearna transformacija 
$\varphi:\R^4\longrightarrow \R$ takva da 
$
\varphi\left(
\begin{matrix} 
1\\ 0\\ 0\\ 0
\end{matrix}
\right)=1,$
$\varphi\left(
\begin{matrix} 
1\\ -1\\ 1\\ 0
\end{matrix}
\right)=1,$ 
$\varphi\left(
\begin{matrix} 
1\\ -1\\ 0\\ 0
\end{matrix}
\right)=0,$ 
$\varphi\left(
\begin{matrix} 
1\\ -1\\ 1\\ -1
\end{matrix}
\right)=0$. Odrediti $\varphi\left(
\begin{matrix} 
a\\ b\\ c\\ d
\end{matrix}
\right)$.\\


\vspace*{2mm}
\hspace*{5mm}
\textbf{(b)}
\hspace*{5mm}
Baza vektorskog prostora $\L=
\left\{
(x_1,x_2,x_3)^\top\in\mathbb{R}^3\, |\, x_1+x_2=0, -x_1+2x_2+x_3=0\right\}$ je 
$\B=\left\{
\left(
\begin{matrix} 
1\\ -1\\ 3
\end{matrix}
\right)
\right\}$. Odrediti mu jedan ortogonalni komplement (u odnosu na standardni unutrašnji (skalarni) proizvod 
$\langle x,y\rangle=x^\top y$).\\








\vspace*{5mm}
\textbf{3.}
\hspace*{5mm}
Neka je $T$ linearni operator na prostoru $\R^2$ koji proizvoljan vektor $v\in\R^2$ preslikava osnom simetrijom s osom u pravoj $y=x$ u vektor $v'$ (vidi sliku). (Drugim riječima $T$ je osna simetrija s osom u pravoj $y=x$).\\

\hspace*{5mm}
(a) Odrediti matricu koordinata $T$ u odnosu na standardnu bazu.\\

\hspace*{5mm}
(b) Odrediti (koordinate) osnu simetriju tačke $v=\left(
\begin{matrix} 
\alpha\\ \beta
\end{matrix}
\right)$ s osom u pravoj $y=x$.\\


\hspace*{5mm}
(c) Odrediti koordinate osne simetrije $T$ (odrediti matricu operatora $T$) u odnosu na bazu 
$\left\{\left(
\begin{matrix} 
1\\ 1
\end{matrix}
\right),
\left(
\begin{matrix} 
1\\ -1
\end{matrix}
\right)\right\}$.




\vspace*{5mm}
\textbf {4.}
\hspace*{5mm}
Zadan je unitarni prostor $\Mat_{2\times 2}(\R)$ sa skalarnim (unutrašnjim) proizvodom $\langle A,B\rangle=\trag(A^\top B)$ i neka je $\L$ vektorski podprostor $\Mat_{2\times 2}(\R)$ definiran kao
$$
\L=\span\left\{
\left(
\begin{matrix} 
0 & 3\\ 
3 & -3
\end{matrix}
\right),
\left(
\begin{matrix} 
-2 & -2\\ 
6 & -2
\end{matrix}
\right),
\left(
\begin{matrix} 
-1 & 1\\ 
-1 & 1
\end{matrix}
\right)
\right\}.
$$
Nađite ortonormiranu bazu za $\L$.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\newpage
%%\vspace*{5mm}
\centerline{
Zadaci su skinuti sa stranice 
\underline{pf.unze.ba\slash nabokov}.}
\centerline{
Za uočene greške pisati na {\it infoarrt@gmail.com}
}




\end{document}