\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=10mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{ae}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{lmodern} 
\usepackage[croatian, english]{babel}




\def\R{{\mbox{$\mathbb R$}}}
\def\Z{{\mbox{$\mathbb Z$}}}
\def\Q{{\mbox{$\mathbb Q$}}}
\def\F{{\mbox{$\mathbb F$}}}
\def\C{{\mbox{$\mathbb C$}}}
\def\E{{\mbox{$\mathcal{E}$}}}
\def\M{{\mbox{$\mathcal{M}$}}}
\def\L{{\mbox{$\mathcal{L}$}}}
\def\B{{\mbox{$\mathcal{B}$}}}
\def\X{{\mbox{$\mathcal{X}$}}}
\def\V{{\mbox{$\mathcal{V}$}}}
\def\Y{{\mbox{$\mathcal{Y}$}}}
\def\W{{\mbox{$\mathcal{W}$}}}
\def\dist{{\mbox{\rm dist}}}
\def\span{{\mbox{\rm span}}}
\def\ecc{{\mbox{\rm ecc}}}
\def\max{{\mbox{\rm max}}}
\def\spec{{\mbox{\rm spec}}}
\def\rank{{\mbox{\rm rank}}}
\def\mod{{\mbox{\rm mod}}}
\def\div{{\mbox{\rm div}}}
\def\tr{{\mbox{\rm tr}}}
\def\dim{{\mbox{\rm dim}}}
\def\diag{{\mbox{\rm diag}}}
\def\Mat{{\mbox{\rm Mat}}}
\def\ker{{\mbox{\rm ker}}}
\def\gcd{{\mbox{\rm gcd}}}
\def\A{{\mbox{$\pmb{A}$}}}
\def\J{{\mbox{$\pmb{J}$}}}
\def\I{{\mbox{$\pmb{I}$}}}
\def\j{{\mbox{$\pmb{j}$}}}
\def\0{{\mbox{\boldmath{$0$}}}}
\def\algmult{{\mbox{\rm alg\,mult}}}
\def\geomult{{\mbox{\rm geo\,mult}}}
\def\char{{\mbox{\rm char}}}




\setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}




\raggedright

\centerline {Pismeni ispit iz predmeta 
\textbf{Linearna algebra, 18.01.2013.}}

\vspace*{5mm}
\textbf {1.}
\hspace*{5mm}
Neka je ${\cal P}_2$ vektorski prostor svih realnih polinoma stepena $\le 2$,
$$
\mathcal{P}_2=\{ax^2+bx+c\,|\,a,b,c\in\mathbb{R}\}.
$$
a) Provjeriti da li je sa 
$
\langle p,q\rangle=p(1)q(1)+2p(0)q(0)+p(-1)q(-1)
$
definiran unutrašnji (skalarni) proizvod na ${\cal P}_2$.\\
b) Za podprostor $\mathcal{L}\subseteq\mathcal{P}_2$ generisan polinomima $p_1(x)=1$ i $p_2(x)=x$ odredite ortogonalni komplement.\\
c) Odredite ortogonalnu projekciju od $p(x)=-2x^2+x+2$ na 
$\mathcal{L}$.\\





\vspace*{5mm}
\textbf {2.}
\hspace*{5mm}
Dat je vektorski podprostor $\mathcal{M}$ prostora $\mathbb{R}^4$ definisan sa 
$$
\M=\{(z_1,z_2,z_3,z_4)^\top\in\R^4\,|\,z_1+2z_2+z_3=0,\,2z_1+z_2-z_3=0,z_1+5z_2+4z_3=0\}.
$$
Odrediti mu jedan (direktni) komplement (koji nije ortogonalni komplement).\\








\vspace*{5mm}
\textbf {3.}
\hspace*{5mm}
Dat je vektorski prostor $\L$ vektorskog prostora 
$\Mat_{2\times 2}(\R)$ definisan sa
$$
\L=\{A\in\Mat_{2\times 2}(\R)\,|\,AX-XA=\0,
X=\left[
\begin{matrix} 
0 & 1\\
2 & 0\\
\end{matrix}
\right]\}.
$$
Razmatrajući standardni unutrašnji proizvod za matrice 
$
\langle A,B\rangle=trag(A^\top B)
$
odrediti ortonormiranu bazu za $\L.$




\vspace*{5mm}
\textbf {4.}
\hspace*{5mm}
Odrediti URV faktorizaciju matrice 
$\displaystyle{
A=\left[
\begin{matrix} 
1 & 2 & 3\\
-1 & -2 & -3\\
2 & 4 & 5\\
\end{matrix}
\right]}$.





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\vspace*{15mm}


\centerline {Pismeni ispit iz predmeta 
\textbf{Linearna algebra, 18.01.2013.}}

\vspace*{5mm}
\textbf {1.}
\hspace*{5mm}
Neka je ${\cal P}_2$ vektorski prostor svih realnih polinoma stepena $\le 2$,
$$
\mathcal{P}_2=\{ax^2+bx+c\,|\,a,b,c\in\mathbb{R}\}.
$$
a) Provjeriti da li je sa 
$
\langle p,q\rangle=p(1)q(1)+2p(0)q(0)+p(-1)q(-1)
$
definiran unutrašnji (skalarni) proizvod na ${\cal P}_2$.\\
b) Za podprostor $\mathcal{L}\subseteq\mathcal{P}_2$ generisan polinomima $p_1(x)=1$ i $p_2(x)=x$ odredite ortogonalni komplement.\\
c) Odredite ortogonalnu projekciju od $p(x)=-2x^2+x+2$ na 
$\mathcal{L}$.\\





\vspace*{5mm}
\textbf {2.}
\hspace*{5mm}
Dat je vektorski podprostor $\mathcal{M}$ prostora $\mathbb{R}^4$ definisan sa 
$$
\M=\{(z_1,z_2,z_3,z_4)^\top\in\R^4\,|\,z_1+2z_2+z_3=0,\,2z_1+z_2-z_3=0,z_1+5z_2+4z_3=0\}.
$$
Odrediti mu jedan (direktni) komplement (koji nije ortogonalni komplement).\\








\vspace*{5mm}
\textbf {3.}
\hspace*{5mm}
Dat je vektorski prostor $\L$ vektorskog prostora 
$\Mat_{2\times 2}(\R)$ definisan sa
$$
\L=\{A\in\Mat_{2\times 2}(\R)\,|\,AX-XA=\0,
X=\left[
\begin{matrix} 
0 & 1\\
2 & 0\\
\end{matrix}
\right]\}.
$$
Razmatrajući standardni unutrašnji proizvod za matrice 
$
\langle A,B\rangle=trag(A^\top B)
$
odrediti ortonormiranu bazu za $\L.$




\vspace*{5mm}
\textbf {4.}
\hspace*{5mm}
Odrediti URV faktorizaciju matrice 
$\displaystyle{
A=\left[
\begin{matrix} 
1 & 2 & 3\\
-1 & -2 & -3\\
2 & 4 & 5\\
\end{matrix}
\right]}$.



\newpage
\vspace*{15mm}
\centerline{
Zadaci su skinuti sa stranice 
\underline{pf.unze.ba\slash nabokov}.}
\centerline{
Za uočene greške pisati na {\it infoarrt@gmail.com}
}




\end{document}