\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[left=14mm,right=10mm,top=8mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ae}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hvfloat}


\setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}


\raggedright
\centerline {Pismeni ispit iz predmeta 
\textbf{Euklidska geometrija 2}, (23.01.2012.)}
\vspace*{1mm}

\textbf {Zadatak br. 1}\\
\hspace*{5mm}
a) Dat je trougao $\triangle ABC$ u kome su poznate dvije visine $AA'=h_a,$ $CC'=h_c$ i te\v zi\v snica $CC_1=t_c.$ Ako je data ta\v cka $D$ na du\v zi $BA'$ takva da $C_1D\bot BC$ dokazati da je $C_1D={1\over2}h_a.$ Tvrdnju dokazati bez primjene teoreme o srednjoj liniji trougla.
\\


\vspace*{1mm}
\hspace*{5mm}
b) Centar upisanog kruga u jednakokrakom trouglu dijeli visinu u odnosu $12:5$. Ako je du\v zina kraka trougla $60\,cm$, na\' ci du\v zinu osnovice tog trougla.\\


 

\vspace*{1mm}
\hspace*{5mm}c)
Neka je $\square ABCD$ paralelogram. Na polupravoj $DB$ uzeta je ta\v cka $E$ tako da je poluprava AB simetrala ugla $\measuredangle CAE.$ Neka je $F$ ta\v cka presjeka pravih $CE$ i $AB.$ Dokazati da je ${EC\over EF}={AB\over BF}.$\\







\vspace*{1mm}
\hspace*{5mm}d)
Deltoid je upisan u krug $k_1.$ Kra\' ca dijagonala dijeli du\v zu na odsje\v cke $37\,cm$ i $54\,cm.$ Nad tim odsje\v ccima kao nad pre\v cnicima konstruisani su krugovi $k_2$ i $k_3.$ Na\' ci povr\v sinu 
$P=P_{k_1}-P_{k_2}-P_{k_3},$ ozna\v citi na slici \v sta predstavlja ova povr\v sina i odrediti du\v zinu kra\' ce dijagonale $BD.$\\





\vspace*{1mm}
\hspace*{5mm}e)
Dat je trougao $\triangle ABC$ u kome su poznate dvije visine $AA'=h_a,$ $CC'=h_c$ i te\v zi\v snica $CC_1=t_c.$
Na stranici $BC$ data je ta\v cka $D$ takva da 
$C_1D\bot BC$ i $C_1D={1\over 2}AA'.$
Diskutovati da li se ta\v cka $D$ mo\v ze dobiti kao presjek dva kruga \v ciji se polupre\v cnici mogu izraziti preko $h_a,$ $h_c$ ili $t_c.$\\






\vspace*{1mm}
\textbf {Zadatak br. 2}\\
\hspace*{5mm} 
U unutra\v snjosti datog trougla odrediti ta\v cku iz koje se sve tri stranice vide pod podudarnim uglom.\\





\vspace*{1mm}
\textbf {Zadatak br. 3}\\
\hspace*{5mm}
U trougao $\triangle ABC$ upisan je paralelogram $\square ADEF$ tako da tjemena $D,$ $E$ i $F$ le\v ze redom na stranicama $AB,$ $BC$ i $CA.$ Kroz sredi\v ste $A_1$ stranice $BC$ konstruisana je prava $AA_1$ koja sije\v ce pravu $EF$ u ta\v cki $G.$ Dokazati da je \v cetverougao $\square BGFD$ paralelogram.\\



\vspace*{3mm}
\textbf {Zadatak br. 4}\\
\hvFloat[%
onlyText=true,%
floatPos=htb,%
capWidth=1.0,% of \columnwidth
capPos=l,%
capVPos=c,%
objectPos=r]%
{}%
{\includegraphics{krugovi}}%
[e]{{\hspace*{5mm}Dati su krugovi $k_1(O_1,r_1)$, $k_2(O_2,r_2)$ i ta\v cka $A$. Konstruisati krug $k(O,r)$ koji prolazi kroz ta\v cku $A$ i dodiruje krugove $k_1$ i $k_2$ kao na skici.}\\}%
{fig:text}




\vspace*{13mm}



\centerline {Pismeni ispit iz predmeta 
\textbf{Euklidska geometrija 2}, (23.01.2012.)}
\vspace*{1mm}

\textbf {Zadatak br. 1}\\
\hspace*{5mm}
a) Dat je trougao $\triangle ABC$ u kome su poznate dvije visine $AA'=h_a,$ $CC'=h_c$ i te\v zi\v snica $CC_1=t_c.$ Ako je data ta\v cka $D$ na du\v zi $BA'$ takva da $C_1D\bot BC$ dokazati da je $C_1D={1\over2}h_a.$ Tvrdnju dokazati bez primjene teoreme o srednjoj liniji trougla.
\\


\vspace*{1mm}
\hspace*{5mm}
b) Centar upisanog kruga u jednakokrakom trouglu dijeli visinu u odnosu $12:5$. Ako je du\v zina kraka trougla $60\,cm$, na\' ci du\v zinu osnovice tog trougla.\\


 

\vspace*{1mm}
\hspace*{5mm}c)
Neka je $\square ABCD$ paralelogram. Na polupravoj $DB$ uzeta je ta\v cka $E$ tako da je poluprava AB simetrala ugla $\measuredangle CAE.$ Neka je $F$ ta\v cka presjeka pravih $CE$ i $AB.$ Dokazati da je ${EC\over EF}={AB\over BF}.$\\







\vspace*{1mm}
\hspace*{5mm}d)
Deltoid je upisan u krug $k_1.$ Kra\' ca dijagonala dijeli du\v zu na odsje\v cke $37\,cm$ i $54\,cm.$ Nad tim odsje\v ccima kao nad pre\v cnicima konstruisani su krugovi $k_2$ i $k_3.$ Na\' ci povr\v sinu 
$P=P_{k_1}-P_{k_2}-P_{k_3},$ ozna\v citi na slici \v sta predstavlja ova povr\v sina i odrediti du\v zinu kra\' ce dijagonale $BD.$\\





\vspace*{1mm}
\hspace*{5mm}e)
Dat je trougao $\triangle ABC$ u kome su poznate dvije visine $AA'=h_a,$ $CC'=h_c$ i te\v zi\v snica $CC_1=t_c.$
Na stranici $BC$ data je ta\v cka $D$ takva da 
$C_1D\bot BC$ i $C_1D={1\over 2}AA'.$
Diskutovati da li se ta\v cka $D$ mo\v ze dobiti kao presjek dva kruga \v ciji se polupre\v cnici mogu izraziti preko $h_a,$ $h_c$ ili $t_c.$\\






\vspace*{1mm}
\textbf {Zadatak br. 2}\\
\hspace*{5mm} 
U unutra\v snjosti datog trougla odrediti ta\v cku iz koje se sve tri stranice vide pod podudarnim uglom.\\





\vspace*{1mm}
\textbf {Zadatak br. 3}\\
\hspace*{5mm}
U trougao $\triangle ABC$ upisan je paralelogram $\square ADEF$ tako da tjemena $D,$ $E$ i $F$ le\v ze redom na stranicama $AB,$ $BC$ i $CA.$ Kroz sredi\v ste $A_1$ stranice $BC$ konstruisana je prava $AA_1$ koja sije\v ce pravu $EF$ u ta\v cki $G.$ Dokazati da je \v cetverougao $\square BGFD$ paralelogram.\\



\vspace*{3mm}
\textbf {Zadatak br. 4}\\
\hvFloat[%
onlyText=true,%
floatPos=htb,%
capWidth=1.0,% of \columnwidth
capPos=l,%
capVPos=c,%
objectPos=r]%
{}%
{\includegraphics{krugovi}}%
[e]{{\hspace*{5mm}Dati su krugovi $k_1(O_1,r_1)$, $k_2(O_2,r_2)$ i ta\v cka $A$. Konstruisati krug $k(O,r)$ koji prolazi kroz ta\v cku $A$ i dodiruje krugove $k_1$ i $k_2$ kao na skici.}\\}%
{fig:text}









\end{document}