\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\pagestyle{empty}
\usepackage[left=19mm,right=19mm,top=18mm,bottom=22mm]  
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae}
\usepackage[croatian, english]{babel}
\usepackage{esint, hvfloat}
%%\usepackage[T1]{fontenc}
\def\tr{{\mbox{$\triangle$}}}
\def\cet{{\mbox{$\square$}}}
\def\kv{{\mbox{$\square$}}}
\def\ce{{\mbox{$\square$}}}
\def\ug{{\mbox{$\measuredangle$}}}
\def\du{{\mbox{\rm d$u$}}}
\def\dx{{\mbox{\rm d$x$}}}
\def\df{{\mbox{\rm d$f$}}}
\def\dr{{\mbox{\rm d$r$}}}
\def\dt{{\mbox{\rm d$t$}}}
\def\dy{{\mbox{\rm d$y$}}}
\def\dz{{\mbox{\rm d$z$}}}
\def\dfi{{\mbox{\rm d$\varphi$}}}
\def\dro{{\mbox{\rm d$\rho$}}}
\def\ds{{\mbox{\rm d$s$}}}
\def\tg{{\mbox{\rm tg\,}}}
\def\arctg{{\mbox{\rm arc\,tg\,}}}
\def\arcsin{{\mbox{\rm arc\,sin\,}}}
\def\arccos{{\mbox{\rm arc\,cos\,}}}
\def\ctg{{\mbox{\rm ctg\,}}}
\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {3mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {3mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  
%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}
\setlength{\textheight}{270mm}
\setlength{\textwidth}{175mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%% ODAVDJE POČINJE DOKUMENT


\begin{document}



\raggedright


\includegraphics{logo_unze}


\vspace*{-25mm}
\hspace*{30mm}
\textbf{Univerzitet u Zenici}\\
\hspace*{30mm}
\textbf{Filozofski fakultet}\\
\hspace*{30mm}
Odsjek: Matematika i informatika\\
\hspace*{30mm}
Zenica, 05.09.2014.\\


\vspace*{10mm}
\renewcommand{\thesection}{}

\section{Euklidske geometrije II, pismeni ispit,
(ispit pisati isključivo hemijskom olovkom plave ili crne tinte)}
\setcounter{zad}{0}



\vspace*{5mm}
\textbf{Zadatak br. 1}\\
\hspace*{5mm}
(50\%)($a$) Neka je $CEDF$ data ravan $\alpha$, i neka je tačka $A$ van nje ($A\not\in\alpha$). Ako je $AC$ okomica na ravan $\alpha$ i $CD$ okomica na pravu $p(E,F)$ u ravni, pokazati da je $AD\bot EF$.


\vspace*{2mm}
\hspace*{5mm}
(50\%)($b$) Nacrtati pravu (npr. nacrtati prvu $p(C,G)$) tako da je okomite na svaku od dvije date prave (npr. okomita je na $p(A,B)$ i $p(C,D)$) koje ne pripadaju istoj ravni. Dokazati da je ova zajednička okomica (u ovom slučaju duž $CG$) najkraća udaljenost između pravih.







\vspace*{5mm}
\textbf {Zadatak br. 2}\\
\hspace*{5mm}
(30\%)($a$) Kroz datu tačku u ravni datog paralelograma povući pravu koja dijeli taj paralelogram na dva podudarna dijela.


\vspace*{2mm}
\hspace*{5mm}
(70\%)($b$) Konstruisati pravu koja prolazi kroz datu tačku i od datog ugla odsjeca trougao datog obima.


\vspace*{2mm}
\hspace*{5mm}
U oba zadatka detaljno sprovesti sve četri koraka: Analizu, Konstrukciju, Dokaz i Diskusiju.








\vspace*{5mm}
\hvFloat[%
onlyText=true,%
floatPos=htb,%
capWidth=1.0,% of \columnwidth
capPos=l,%
capVPos=c,%
objectPos=r]%
{}%
{\includegraphics{Apolonijev_problem}}%
[e]{{
\textbf {Zadatak br. 3}\\
\hspace*{5mm}
(30\%)($a$) Dat je $\tr ABC$ u kome vrijedi da je $AB^2=BC^2+AC^2$. Bez upotrebe Pitagorine teoreme pokazati da je $\ug BCA$ prav ugao.\\\,\\
\hspace*{5mm}
(70\%)($b$) Dati su krugovi $k_1(O_1, r_1)$ i $k_2(O_2,r_2)$,
($r_1<r_2$) i tačka $A$. Konstrisati krug $k$ koji prolazi kroz tačku $A$ i dodiruje  krugove $k_1$ i $k_2$ kao na skici. (Detaljno sprovesti samo Analizu. Konstrukciju, Dokaz i Diskusiju možete uraditi, ali bodovati će se samo Analiza.)}\\}%
{fig:text}\\










\newpage
\centerline{
Zadaci su skinuti sa stranice 
\underline{ff.unze.ba\slash nabokov}.}
\centerline{
Za uočene greške pisati na {\it infoarrt@gmail.com}
}



\newpage
\centerline{\includegraphics[scale=1]{05}}

Rješenja-upute:



1.a\\
Nacrtajmo sliku i posmatrajmo prvave $p(A,E)$, $p(C,E)$. Rješimo zadatak: Kako je $AC\bot\alpha$ to je $AC\bot CD$ i $CE$. Time $AD^2=AC^2+CD^2$ i $AE^2=AC^2+CE^2$ $\Rightarrow$ $AE^2-AD^2=CE^2-CD^2$. Ali $CD\bot EF$ $\Rightarrow$ $CE^2-CD^2=DE^2$ $\Rightarrow$ $AE^2-AD^2=DE^2$ $\Rightarrow$ $\ug ADE$ je pravi ugao što je ekvivalentno sa $AD\bot EF$. 




1.b\\
Nacrtajmo sliku: Neka su $AB$, $CD$ dvije date prave. Kroz bilo koju tačku $A$ prave $p(A,B)$ nactajmo $AE\|CD$. Nacrtajmo $DF\bot\alpha$ ($\alpha$ je ravan $ABE$) i $FG\| AE$ siječe pravu $AB$ u tački $G$. Neka je $DC$ podudarna sa $FG$ i posmatrajmo $p(C,G)$. Rješimo zadatak: $CD,FG$ su $\| AE$ $\Rightarrow$ $CD\| FG$ i $DF\bot\alpha$ $\Rightarrow$ $CG\bot\alpha$  $\Rightarrow$ $CG\bot AB$ i $GF$, a imamo i $GF\| CD$ $\Rightarrow$ $CG\bot AD$ i $CD$. Sad posmatrajmo bilo koju drugu pravu $p(D,H)$ između pravih $p(A,B)$ i $p(C,D)$. Kako je $DF\bot\alpha$ $\Rightarrow$ $DF\bot FH$ $\Rightarrow$ $DH>DF$ tj od $CG$.


\end{document}