\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\pagestyle{empty}
\usepackage[left=19mm,right=19mm,top=18mm,bottom=22mm]  
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae}
\usepackage[croatian, english]{babel}
\usepackage{esint, hvfloat}
%%\usepackage[T1]{fontenc}
\def\tr{{\mbox{$\triangle$}}}
\def\cet{{\mbox{$\square$}}}
\def\kv{{\mbox{$\square$}}}
\def\ce{{\mbox{$\square$}}}
\def\ug{{\mbox{$\measuredangle$}}}
\def\du{{\mbox{\rm d$u$}}}
\def\dx{{\mbox{\rm d$x$}}}
\def\df{{\mbox{\rm d$f$}}}
\def\dr{{\mbox{\rm d$r$}}}
\def\dt{{\mbox{\rm d$t$}}}
\def\dy{{\mbox{\rm d$y$}}}
\def\dz{{\mbox{\rm d$z$}}}
\def\dfi{{\mbox{\rm d$\varphi$}}}
\def\dro{{\mbox{\rm d$\rho$}}}
\def\ds{{\mbox{\rm d$s$}}}
\def\tg{{\mbox{\rm tg\,}}}
\def\arctg{{\mbox{\rm arc\,tg\,}}}
\def\arcsin{{\mbox{\rm arc\,sin\,}}}
\def\arccos{{\mbox{\rm arc\,cos\,}}}
\def\ctg{{\mbox{\rm ctg\,}}}
\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {3mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {3mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  
%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}
\setlength{\textheight}{270mm}
\setlength{\textwidth}{175mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%% ODAVDJE POČINJE DOKUMENT


\begin{document}



\raggedright
\hvFloat[%
onlyText=true,%
floatPos=htb,%
capWidth=0.5,% of \columnwidth
capPos=r,%
capVPos=c,%
objectPos=l]%
{}%
{\includegraphics{logo_unze}}%
[e]{\textbf{Univerzitet u Zenici}\\
\textbf{Pedago\v ski fakultet}\\
Odsjek: Matematika i informatika\\}%
{fig:text}









\renewcommand{\thesection}{}

\section{Pismeni ispit iz Euklidske geometrije II, 27.09.2013. (ispit pisati isključivo hemijskom olovkom plave ili crne tinte)}
\setcounter{zad}{0}


\begin{zad}
(40\%)($a$) Neka su $M$, $N$, $P$ i $Q$ različite tačke neke ravni $\alpha$ takve da je tačka $S$ presječna tačka prave određena tačkama $P$ i $Q$ i pri tome važi $MS\cong NS$ i $PS\cong QS$. Ako je $A$ tačka van ravni $\alpha$ takva da je $AM\cong AN$ i $AP\cong AQ$, dokazati da je prava $AS$ normalna na ravan $\alpha$.

Napomena: U rješavanju zadatka možda ćete naći korisno da iskoristite teoremu: Ako je prava $n$ normalna na dvije date prave $a$ i $b$ ravni $\alpha$ koje se sijeku, tada je $n\bot\alpha$.

\vspace*{2mm}
(60\%)($b$) Ako su $P$ i $Q$ redom, tačke mimoilaznih pravih $p$ i $q$ euklidskog prostora takve da je prava $p(P,Q)$ normalna na pravama $p$ i $q$, dokazati da je duž $PQ$ kraća od svih ostalih duži koje spajaju tačke pravih $p$ i $q$.

Napomena: U rješavanju zadatka možda ćete naći korisno da iskoristite teoremu: Postoji jedinstvena prava $n$ koja siječe dvije mimoilazne prave $p$ i $q$ i okomita je na njih.
\end{zad}




\begin{zad}
(40\%)($a$) Konstruisati trougao $\tr ABC$ ako su mu dati stranica $a$, ugao $\alpha$ i visina $h_a$.


\vspace*{2mm}
\hspace*{7mm}
(60\%)($b$) Konstruisati trougao $\tr ABC$ ako je dato $AM=t_a$ i poluprečnici $R_1$ i $R_2$ krugova opisanih oko trouglova $\tr ABM$ i $\tr ACM$.
\end{zad}

\begin{zad}
(50\%)($a$) Neka je $\tr ABC$ dati trougao i neka su $D$ i $E$ proizvoljne tačke, redom, na stranicama $AB$ i $AC$. Produžimo, redom, $AB$ i $AC$ do tačaka $G$ i $H$ tako da je $A-B-G$, $BG\cong AD$, $A-C-H$ i $CH\cong AE$. Ako je $L$ presječna tačka duži $BH$ i $CG$, pokazati da je $P_{\triangle LGH}=P_{\triangle ADE}+P_{\triangle LBC}$.

\vspace*{2mm}
\hspace*{7mm}
(50\%)($b$) Konstruisati krug koji dodiruje dvije date prave i dati krug. Detaljno sprovesti samo Analizu (ne koristiti dokaz tipa pozivanja na neki drugi Apolonijev problem, koji je od ranije poznat, nego sve detaljno analizirati). Konstrukciju, Dokaz i Diskuciju možete uraditi ali bodovati će se samo Analiza. 
\end{zad}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage
\centerline{
Zadaci su skinuti sa stranice 
\underline{pf.unze.ba\slash nabokov}.}
\centerline{
Za uočene greške pisati na {\it infoarrt@gmail.com}
}





\end{document}
