\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\pagestyle{empty}
\usepackage[left=19mm,right=19mm,top=18mm,bottom=22mm]  
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae}
\usepackage[croatian, english]{babel}
\usepackage{esint, hvfloat}
%%\usepackage[T1]{fontenc}
\def\tr{{\mbox{$\triangle$}}
}
\def\du{{\mbox{\rm d$u$}}}
\def\dx{{\mbox{\rm d$x$}}}
\def\df{{\mbox{\rm d$f$}}}
\def\dr{{\mbox{\rm d$r$}}}
\def\dt{{\mbox{\rm d$t$}}}
\def\dy{{\mbox{\rm d$y$}}}
\def\dz{{\mbox{\rm d$z$}}}
\def\dfi{{\mbox{\rm d$\varphi$}}}
\def\dro{{\mbox{\rm d$\rho$}}}
\def\ds{{\mbox{\rm d$s$}}}
\def\tg{{\mbox{\rm tg\,}}}
\def\arctg{{\mbox{\rm arc\,tg\,}}}
\def\arcsin{{\mbox{\rm arc\,sin\,}}}
\def\arccos{{\mbox{\rm arc\,cos\,}}}
\def\ctg{{\mbox{\rm ctg\,}}}
\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {3mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {3mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  
%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}
\setlength{\textheight}{270mm}
\setlength{\textwidth}{175mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%% ODAVDJE POČINJE DOKUMENT


\begin{document}






\renewcommand{\thesection}{}

\section{Prvi parcijalni iz Euklidske geometrije II, 25.04.2013. (ispit pisati isključivo hemiskom olovkom plave ili crne tinte)}
\setcounter{zad}{0}


\begin{zad}
(20\%)($a$) Dat je romb $\square ABCD$. Pokazati da je $AC\bot BD$ i da su dijagonale ujedno i simetrale uglova.


(30\%)($b$) Duž $AC=a$ svojom unutrašnjom tačkom $B$ podjeljena je u odnosu $3:2$. Nad dužima $AB$ i $BC$, sa raznih strana u odnosu na duž $AC$, konstruisani su kvadrati $\square ABDE$ i $\square CBFG$. Neka su $O$ i $O_1$ presjeci dijagonala ovih kvadrata. U kojoj razmjeri stoje površina četverougla $\square OO_1CD$ i površina kvadrata kome je stranica duž $AC$?



(50\%)($c$) Dat je romb $\square ABCD$. Simetrale uglova između dijagonala sijeku stranice $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ romba, redom, u tačkama $M$, $N$, $P$ i $Q$. Pokazati da je četverougao $\square MNPQ$ kvadrat.
\end{zad}

\begin{zad}
Osnovne ivice kvadra (pravouglog paralelepipeda) odnose se kao $4:3$, dijagonale bočnih strana odnose se međusobno kao $\sqrt{20}:\sqrt{13}$ a površina dijagonalnog presjeka odnosi se prema zapremini (volumenu) kvadra kao $2:1$. Izračunati površinu i zapreminu ovog kvadra.
\end{zad}

\begin{zad}
(a) Dat je romb $\square ABCD$ sa uglom $\measuredangle BAD=60^\circ$. Simetrale uglova između dijagonala sijeku stranice $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ romba, redom, u tačkama $M$, $N$, $P$ i $Q$. Ako znamo da je četverougao $\square MNPQ$ kvadrat pokazati da je $AM:MB=\sqrt{3}:1$.


(b) Dat je romb $\square ABCD$ sa uglom $\measuredangle BAD=60^\circ$. Simetrale uglova između dijagonala sijeku stranice $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ romba, redom, u tačkama $M$, $N$, $P$ i $Q$. Ako znamo da je četverougao $\square MNPQ$ kvadrat i da je $AM:MB=\sqrt{3}:1$ naći razmjeru onih odsječaka veće i manje dijagonale romba, koji leži van četverougla $\square MNPQ$.
\end{zad}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\vspace*{5mm}


\renewcommand{\thesection}{}

\section{Prvi parcijalni iz Euklidske geometrije II, 25.04.2013. (ispit pisati isključivo hemiskom olovkom plave ili crne tinte)}
\setcounter{zad}{0}


\begin{zad}
(20\%)($a$) Dat je romb $\square ABCD$. Pokazati da je $AC\bot BD$ i da su dijagonale ujedno i simetrale uglova.


(30\%)($b$) Duž $AC=a$ svojom unutrašnjom tačkom $B$ podjeljena je u odnosu $3:2$. Nad dužima $AB$ i $BC$, sa raznih strana u odnosu na duž $AC$, konstruisani su kvadrati $\square ABDE$ i $\square CBFG$. Neka su $O$ i $O_1$ presjeci dijagonala ovih kvadrata. U kojoj razmjeri stoje površina četverougla $\square OO_1CD$ i površina kvadrata kome je stranica duž $AC$?



(50\%)($c$) Dat je romb $\square ABCD$. Simetrale uglova između dijagonala sijeku stranice $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ romba, redom, u tačkama $M$, $N$, $P$ i $Q$. Pokazati da je četverougao $\square MNPQ$ kvadrat.
\end{zad}

\begin{zad}
Osnovne ivice kvadra (pravouglog paralelepipeda) odnose se kao $4:3$, dijagonale bočnih strana odnose se međusobno kao $\sqrt{20}:\sqrt{13}$ a površina dijagonalnog presjeka odnosi se prema zapremini (volumenu) kvadra kao $2:1$. Izračunati površinu i zapreminu ovog kvadra.
\end{zad}

\begin{zad}
(a) Dat je romb $\square ABCD$ sa uglom $\measuredangle BAD=60^\circ$. Simetrale uglova između dijagonala sijeku stranice $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ romba, redom, u tačkama $M$, $N$, $P$ i $Q$. Ako znamo da je četverougao $\square MNPQ$ kvadrat pokazati da je $AM:MB=\sqrt{3}:1$.


(b) Dat je romb $\square ABCD$ sa uglom $\measuredangle BAD=60^\circ$. Simetrale uglova između dijagonala sijeku stranice $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ romba, redom, u tačkama $M$, $N$, $P$ i $Q$. Ako znamo da je četverougao $\square MNPQ$ kvadrat i da je $AM:MB=\sqrt{3}:1$ naći razmjeru onih odsječaka veće i manje dijagonale romba, koji leži van četverougla $\square MNPQ$.
\end{zad}




\end{document}
