\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=20mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ae}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hvfloat}
\usepackage{esint}
\usepackage{lmodern} 
\usepackage[croatian, english]{babel}


\setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}




\raggedright
\hvFloat[%
onlyText=true,%
floatPos=htb,%
capWidth=0.5,% of \columnwidth
capPos=r,%
capVPos=c,%
objectPos=l]%
{}%
{\includegraphics{logo_unze}}%
[e]{\textbf{Univerzitet u Zenici}\\
\textbf{Pedago\v ski fakultet}\\
Odsjek: Matematika i informatika\\
Zenica, 05.09.2012.\\}%
{fig:text}




\vspace*{10mm}
\centerline {Pismeni ispit iz predmeta 
\textbf{Euklidska geometrija I}}

\vspace*{5mm}
\textbf {Zadatak br. 1}\\
\hspace*{5mm}
(20\%) a) Isključivo aksiomama incidencije i poretka dokazati da dvije različite prave mogu imati najviše jednu zajedničku tačku.\\

\vspace*{2mm}
\hspace*{5mm}
(30\%) b) Posmatrajmo skup od pet različitih tački $A,$ $B,$ $C,$ $D$ i $E$ (date tačke nacrtati proizvoljno), i posmatrajmo sve moguće duži dobijene od nacrtanih tački ($AB,$ $AC,$ $AD,$ $AE,$ $BC,$ ..., $DE$).  Obrazložiti da li nacrtana geometrija tj. nacrtane duži zadovoljavaju aksiome incidencije $I_1,$ $I_2$ i $I_3$ (naravno u datim aksiomama pojam prava zamjeniti sa pojmom duž). Isto tako obrazložiti da li nacrtana geometrija zadovoljava aksiomu paralelnosti (P), \\
(P): Za svaku tačku $M,$ i za svaku pravu $m,$ postoji najviše jedna prava koja sadrži tačku $M$ i paralelna je sa pravom $m.$\\

\vspace*{2mm}
\hspace*{5mm}
(50\%) c) Data je realna Dekartova ravan (skup tački $\mathbb R^2$ uređenih parova realnih brojeva). Prava u Dekartovoj ravni je podskup tački $P(x,y)$ koje zadovoljavaju linearnu jednačinu $ax+by+c=0$ gdje su $x$ i $y$ promjenjive. Obrazložiti da li data geometrija zadovoljava aksiome incidencije $I_1,$ $I_2$ i $I_3.$\\






\vspace*{5mm}
\textbf {Zadatak br. 2}\\
\hspace*{5mm}
(30\%) a) Dokazati da kompozicija tri osne simetrije ne može biti identitet.\\


\vspace*{2mm}
\hspace*{5mm}
(70\%) b) Dokazati da je proizvod tri osne simetrije osna simetrija ako i samo ako sve tri ose pripadaju elipti\v cnom pramenu pravih.\\ 
\hspace*{5mm}
(Napomena: Elipti\v can pramen pravih je skup pravih koje prolaze kroz istu ta\v cku.)\\








\vspace*{5mm}
\textbf {Zadatak br. 3}\\
\hspace*{5mm}
(20\%) a) U o\v strouglom trouglu $\triangle ABC$ ($AC<BC$) visina $h_c=CC'$ i simetrala $s=p(C,M)$ ugla $\gamma$ zaklapaju ugao od $9^\circ$, a simetrale spolja\v snjih uglova kod tjemena $A$ i $B$ sijeku se pod uglom od $61^\circ$. Odrediti uglove $\triangle ABC$.\\


\vspace*{2mm}
\hspace*{5mm}
(20\%) b) Data je prava $a$. Konstruisati pravu $p$ koja prolazi kroz datu ta\v cku $M$ koja ne pripada pravoj $a$, i koja sije\v ce datu pravu $a$ pod uglom od $20^\circ$. (Ugao od $20^\circ$ konstruisti pribli\v zno ta\v cno.) \\

 

\vspace*{2mm}
\hspace*{5mm}
(60\%) c) Krug $k$ upisan u tupougli trougao $\triangle ABC$ (ugao kod vrha $\measuredangle ABC$ je tup) ima centar u ta\v cki $I$ i dodiruje stranice $AC$ i $AB$ redom u ta\v ckama $P$ i $Q.$ Prava $p(C,I)$ sije\v ce du\v z $PQ$ u ta\v cki $N.$ Dokazati da se oko \v cetverougla $\square BINQ$ mo\v ze opisati krug.\\








\newpage
\centerline{
Zadaci su skinuti sa stranice 
\underline{pf.unze.ba\slash nabokov}.}
\centerline{
Za uočene greške pisati na {\it infoarrt@gmail.com}
}




\end{document}