\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=20mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{ae}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{lmodern} 
\usepackage[croatian, english]{babel}


\setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}



\centerline {Pismeni ispit iz predmeta 
\textbf{Diferencijalna geometrija}, 28.01.2013.}


\vspace*{3mm}
\textbf{Bitna napomena:} Svaku formulu koju mislite koristit, u sva 4 zadatka, obavezno napisati, kao i značenja simbola iz formule. Ispit pisati isključivo hemiskom olovkom plave ili crne tinte. Prije rješenja prepisati postavku (tekst) zadatka.\\

\vspace*{2mm}
\textbf{1.}
\textbf{(a)} Pokazati da kriva $L$: $x=\displaystyle{\frac{t}{1+t^2+t^4}}$, $y=\displaystyle{\frac{t^2}{1+t^2+t^4}}$, $z=\displaystyle{\frac{t^3}{1+t^2+t^4}}$, $t\in\mathbb{R}$, leži na nekoj sferi sa centrom $C(0;\frac{1}{2};0)$.\\
\hspace*{5mm}
\textbf{(b)} Odrediti jednačinu tangente krive $L$: $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$, $z=\displaystyle{4a\sin \frac{t}{2}}$ u tački $\displaystyle{M_0(t=\frac{\pi}{2})}$. Odrediti ugao koji dobijena tangenta zaklapa sa $z$-osom.\\






\vspace*{2mm}
\textbf {2.}
\textbf{(a)} Pokazati da normalne ravni krive $L$: $x=a\sin^2 t$, $y=a\sin t\cos t$, $z=a\cos t$ prolaze kroz koordinatni početak.\\
\hspace*{5mm}
\textbf{(b)} Odrediti jednačinu rektifikacione ravni krive $L$: $x^2=2z$, $y^2=2z$ u proizvoljnoj tački $M_0$ te krive.\\





\vspace*{2mm}
\textbf {3.}
Dokazati da je tangentna ravan u proizvoljnoj tački površi $(x-2z)^m+(y-3z)^n=4,$ $m,n\in\mathbb{N}$, paralelna pravoj 
$\displaystyle{\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{1}}$.



\vspace*{2mm}
\textbf {4.}
Odrediti linije najvećeg nagiba površi $\vec{r}=\vec{r}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,u+v)$.\\
 


 
 
 
 
 \vspace*{20mm}
 
 
 
 

\centerline {Pismeni ispit iz predmeta 
\textbf{Diferencijalna geometrija}, 28.01.2013.}


\vspace*{3mm}
\textbf{Bitna napomena:} Svaku formulu koju mislite koristit, u sva 4 zadatka, obavezno napisati, kao i značenja simbola iz formule. Ispit pisati isključivo hemiskom olovkom plave ili crne tinte. Prije rješenja prepisati postavku (tekst) zadatka.\\


\vspace*{2mm}
\textbf{1.}
\textbf{(a)} Pokazati da kriva $L$: $x=\displaystyle{\frac{t}{1+t^2+t^4}}$, $y=\displaystyle{\frac{t^2}{1+t^2+t^4}}$, $z=\displaystyle{\frac{t^3}{1+t^2+t^4}}$, $t\in\mathbb{R}$, leži na nekoj sferi sa centrom $C(0;\frac{1}{2};0)$.\\
\hspace*{5mm}
\textbf{(b)} Odrediti jednačinu tangente krive $L$: $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$, $z=\displaystyle{4a\sin \frac{t}{2}}$ u tački $\displaystyle{M_0(t=\frac{\pi}{2})}$. Odrediti ugao koji dobijena tangenta zaklapa sa $z$-osom.\\






\vspace*{2mm}
\textbf {2.}
\textbf{(a)} Pokazati da normalne ravni krive $L$: $x=a\sin^2 t$, $y=a\sin t\cos t$, $z=a\cos t$ prolaze kroz koordinatni početak.\\
\hspace*{5mm}
\textbf{(b)} Odrediti jednačinu rektifikacione ravni krive $L$: $x^2=2z$, $y^2=2z$ u proizvoljnoj tački $M_0$ te krive.\\





\vspace*{2mm}
\textbf {3.}
Dokazati da je tangentna ravan u proizvoljnoj tački površi $(x-2z)^m+(y-3z)^n=4,$ $m,n\in\mathbb{N}$, paralelna pravoj 
$\displaystyle{\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{1}}$.



\vspace*{2mm}
\textbf {4.}
Odrediti linije najvećeg nagiba površi $\vec{r}=\vec{r}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,u+v)$.\\
 











\newpage
\centerline{
Zadaci su skinuti sa stranice 
\underline{pf.unze.ba\slash nabokov}.}
\centerline{
Za uočene greške pisati na {\it infoarrt@gmail.com}
}




\end{document}