\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[left=15mm,right=17mm,top=17mm,bottom=8mm] {geometry}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ae}
\usepackage{esint}





\setlength{\textheight}{270mm}
\setlength{\textwidth}{175mm}
\begin{document}
\raggedright


\centerline {Pismeni ispit iz 
predmeta \textbf{Diferencijalna geometrija}, 05.07.2012.}


\vspace*{3mm}\textbf{1. } (30\%) (a)
Izra\v cunati du\v zinu luka $s$ krive $\vec r=e^t (cost,sint,0),$ od ta\v cke $0$ do ta\v cke $t.$ Poslije toga iz formule za du\v zinu luka $s,$ parametar $t$ izraziti preko $s.$\\
\vspace*{1mm}
\hspace*{6mm} (70\%) (b) Odrediti jedini\v cne vektore tangente, glavne normale i binormale krive
$$
x=e^tcost,\,\,\,y=e^tsint,\,\,\,z=e^t.
$$
Zatim na\' ci krivinu i torziju date krive.\\




\vspace*{3mm}
\textbf{2. }
Neka je $(\vec t, \vec n, \vec b)$ prirodini triedar krive $\vec r$ parametrizovane du\v zinom luka ($\vec r=\vec r(s)$), gdje su $\vec t,$ $\vec n$ i $\vec b$ jedini\v cni vektori. Defini\v simo polje $\delta$ sa $\delta\stackrel{def}{=}\tau \vec t+K \vec b,$ gdje su $K$ i $-\tau$ krivina i torzija krive $\vec r.$ Izra\v cunati 
$$
{d\vec t\over ds}-\delta\times\vec t,\,\,\,\,
{d\vec n\over ds}-\delta\times\vec n\,\,\,\,\mbox{i}\,\,\,\,
{d\vec b\over ds}-\delta\times\vec b.
$$
\v Sta mo\v zemo zaklju\v citi na osnovu dobijenog rezultata?




\vspace*{3mm}\textbf{3. }
Na\' ci povr\v sinu \v cetverougla na helikoidu  $x=a\,u\,cosv,$ $y=a\,u\,sinv,$ $z=b\,v$ (gdje su $u,v\in\mathbb R$), ograni\v cenog krivima $u=0,$ $u={b\over a},$ $v=0,$ $v=1.$\\







\vspace*{3mm}\textbf{4. }
Odrediti linije krivine povr\v si 
$\vec r=(u\,cosv,u\,sinv, a\,v).$\\


\vspace*{3mm}
\textbf{Bitna napomena:} Svaku formulu koju mislite koristit, u sva 4 zadatka, obavezno napisati, kao i zna\v cenja simbola iz formule.\\





\vspace*{30mm}


\centerline {Pismeni ispit iz 
predmeta \textbf{Diferencijalna geometrija}, 05.07.2012.}


\vspace*{3mm}\textbf{1. } (30\%) (a)
Izra\v cunati du\v zinu luka $s$ krive $\vec r=e^t (cost,sint,0),$ od ta\v cke $0$ do ta\v cke $t.$ Poslije toga iz formule za du\v zinu luka $s,$ parametar $t$ izraziti preko $s.$\\
\vspace*{1mm}
\hspace*{6mm} (70\%) (b) Odrediti jedini\v cne vektore tangente, glavne normale i binormale krive
$$
x=e^tcost,\,\,\,y=e^tsint,\,\,\,z=e^t.
$$
Zatim na\' ci krivinu i torziju date krive.\\




\vspace*{3mm}
\textbf{2. }
Neka je $(\vec t, \vec n, \vec b)$ prirodini triedar krive $\vec r$ parametrizovane du\v zinom luka ($\vec r=\vec r(s)$), gdje su $\vec t,$ $\vec n$ i $\vec b$ jedini\v cni vektori. Defini\v simo polje $\delta$ sa $\delta\stackrel{def}{=}\tau \vec t+K \vec b,$ gdje su $K$ i $-\tau$ krivina i torzija krive $\vec r.$ Izra\v cunati 
$$
{d\vec t\over ds}-\delta\times\vec t,\,\,\,\,
{d\vec n\over ds}-\delta\times\vec n\,\,\,\,\mbox{i}\,\,\,\,
{d\vec b\over ds}-\delta\times\vec b.
$$
\v Sta mo\v zemo zaklju\v citi na osnovu dobijenog rezultata?




\vspace*{3mm}\textbf{3. }
Na\' ci povr\v sinu \v cetverougla na helikoidu  $x=a\,u\,cosv,$ $y=a\,u\,sinv,$ $z=b\,v$ (gdje su $u,v\in\mathbb R$), ograni\v cenog krivima $u=0,$ $u={b\over a},$ $v=0,$ $v=1.$\\







\vspace*{3mm}\textbf{4. }
Odrediti linije krivine povr\v si 
$\vec r=(u\,cosv,u\,sinv, a\,v).$\\


\vspace*{3mm}
\textbf{Bitna napomena:} Svaku formulu koju mislite koristit, u sva 4 zadatka, obavezno napisati, kao i zna\v cenja simbola iz formule.\\





\end{document}