\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\pagestyle{empty}
\usepackage[left=12mm,right=12mm,top=10mm,bottom=22mm]  
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae}
\usepackage[croatian, english]{babel}
\usepackage{esint, hvfloat}
%%\usepackage[T1]{fontenc}
\def\tr{{\mbox{$\triangle$}}}
\def\du{{\mbox{\rm d$u$}}}
\def\dx{{\mbox{\rm d$x$}}}
\def\grad{{\mbox{\rm grad}}}
\def\df{{\mbox{\rm d$f$}}}
\def\dr{{\mbox{\rm d$r$}}}
\def\dt{{\mbox{\rm d$t$}}}
\def\dy{{\mbox{\rm d$y$}}}
\def\dz{{\mbox{\rm d$z$}}}
\def\dfi{{\mbox{\rm d$\varphi$}}}
\def\dro{{\mbox{\rm d$\rho$}}}
\def\ds{{\mbox{\rm d$s$}}}
\def\dS{{\mbox{\rm d$S$}}}
\def\tg{{\mbox{\rm tg\,}}}
\def\R{{\mbox{$\mathbb R$}}}
\def\arctg{{\mbox{\rm arc\,tg\,}}}
\def\arcsin{{\mbox{\rm arc\,sin\,}}}
\def\arccos{{\mbox{\rm arc\,cos\,}}}
\def\ctg{{\mbox{\rm ctg\,}}}
\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {3mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {3mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  
%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}
\setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\textwidth}{175mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%% ODAVDJE POČINJE DOKUMENT


\begin{document}






\renewcommand{\thesection}{}

\section{Analize III, pismeni ispit, 01.09.2014.}
\setcounter{zad}{0}











\begin{zad}
Ispitati neprekidnost funkcije
$\displaystyle{
\mbox{$f(x,y)$}=
\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{(x-1)^2\ln x}{(x-1)^2+y^2}, & (x,y)\not=(1,0)\\
0, & (x,y)=(1,0)
\end{array} \right.
}.$
\end{zad}








\begin{zad}
Oblast $D$ je ograničena pravama $2x-y=1$, $2x-y=3$, $x+y=-2$ i $x+y=0$. Dati integral
$\displaystyle{
\iint\limits_D xy\,\dx\dy
}$ izračunati na dva načina:

($a$) bez uvođenja smjena promjenjivih;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, ($b$) uvođenjem smjena promjenjivih.
\end{zad}





\begin{zad}
Izračunati pomoću Stoksove formule (ili direktno) $\displaystyle{
I=\oint\limits_c y^2\dx+z^2\dy+x^2\dz
}$, ako je $c$ kontura trougla $\triangle ABC$, $A(2;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;-3)$, pređena u pozitivnom smislu.
\end{zad}




\begin{zad}
($30\%$)($a$) Primjenom formule Gauss-Ostrogradskog izračunati površinski integral druge vrste $\displaystyle{\oiint\limits_{W}(z+1)\dx\dy}$ gdje je $W$-sfera $x^2+y^2+z^2=R^2$.

($70\%$)($a$) Neka je data funkcija $f:\R^3\rightarrow\R$. Ako je $\vec{r}$ radijus vektor i $\displaystyle{\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}}$ Laplaceov operator, dokazati da vrijede sljedeće dvije jednkosti
$$
\Delta(x\cdot f)=2\frac{\partial f}{\partial x}+x\cdot\Delta(f),
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\grad(f)=\frac{1}{2}(\Delta(\vec{r}\cdot f)-\vec{r}\cdot\Delta(f)).
$$
\end{zad}



\textbf{VAŽNO:} Ovaj papir treba predati zajedno s rješenjima zadataka! Prije rješenja prepisati postavku (tekst) zadatka. Ispit pisati isključivo hemijskom olovkom plave ili crne tinte.






\vspace*{5mm}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\renewcommand{\thesection}{}

\section{Analize III, pismeni ispit, 01.09.2014.}
\setcounter{zad}{0}











\begin{zad}
Ispitati neprekidnost funkcije
$\displaystyle{
\mbox{$f(x,y)$}=
\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{(x-1)^2\ln x}{(x-1)^2+y^2}, & (x,y)\not=(1,0)\\
0, & (x,y)=(1,0)
\end{array} \right.
}.$
\end{zad}








\begin{zad}
Oblast $D$ je ograničena pravama $2x-y=1$, $2x-y=3$, $x+y=-2$ i $x+y=0$. Dati integral
$\displaystyle{
\iint\limits_D xy\,\dx\dy
}$ izračunati na dva načina:

($a$) bez uvođenja smjena promjenjivih;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, ($b$) uvođenjem smjena promjenjivih.
\end{zad}





\begin{zad}
Izračunati pomoću Stoksove formule (ili direktno) $\displaystyle{
I=\oint\limits_c y^2\dx+z^2\dy+x^2\dz
}$, ako je $c$ kontura trougla $\triangle ABC$, $A(2;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;-3)$, pređena u pozitivnom smislu.
\end{zad}




\begin{zad}
($30\%$)($a$) Primjenom formule Gauss-Ostrogradskog izračunati površinski integral druge vrste $\displaystyle{\oiint\limits_{W}(z+1)\dx\dy}$ gdje je $W$-sfera $x^2+y^2+z^2=R^2$.

($70\%$)($a$) Neka je data funkcija $f:\R^3\rightarrow\R$. Ako je $\vec{r}$ radijus vektor i $\displaystyle{\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}}$ Laplaceov operator, dokazati da vrijede sljedeće dvije jednkosti
$$
\Delta(x\cdot f)=2\frac{\partial f}{\partial x}+x\cdot\Delta(f),
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\grad(f)=\frac{1}{2}(\Delta(\vec{r}\cdot f)-\vec{r}\cdot\Delta(f)).
$$
\end{zad}



\textbf{VAŽNO:} Ovaj papir treba predati zajedno s rješenjima zadataka! Prije rješenja prepisati postavku (tekst) zadatka. Ispit pisati isključivo hemijskom olovkom plave ili crne tinte.








%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage
%%\vspace*{5mm}
\centerline{
Zadaci su skinuti sa stranice 
\underline{ff.unze.ba\slash nabokov}.}
\centerline{
Za uočene greške pisati na {\it infoarrt@gmail.com}
}


\end{document}
