\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\pagestyle{empty}
\usepackage[left=19mm,right=19mm,top=10mm,bottom=22mm]  
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae}
\usepackage[croatian, english]{babel}
\usepackage{esint, hvfloat}
%%\usepackage[T1]{fontenc}
\def\tr{{\mbox{$\triangle$}}}
\def\du{{\mbox{\rm d$u$}}}
\def\dx{{\mbox{\rm d$x$}}}
\def\grad{{\mbox{\rm grad}}}
\def\df{{\mbox{\rm d$f$}}}
\def\dr{{\mbox{\rm d$r$}}}
\def\dt{{\mbox{\rm d$t$}}}
\def\dy{{\mbox{\rm d$y$}}}
\def\dz{{\mbox{\rm d$z$}}}
\def\dfi{{\mbox{\rm d$\varphi$}}}
\def\dro{{\mbox{\rm d$\rho$}}}
\def\ds{{\mbox{\rm d$s$}}}
\def\dS{{\mbox{\rm d$S$}}}
\def\tg{{\mbox{\rm tg\,}}}
\def\R{{\mbox{$\mathbb R$}}}
\def\arctg{{\mbox{\rm arc\,tg\,}}}
\def\arcsin{{\mbox{\rm arc\,sin\,}}}
\def\arccos{{\mbox{\rm arc\,cos\,}}}
\def\ctg{{\mbox{\rm ctg\,}}}
\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {3mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {3mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  
%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}
\setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\textwidth}{175mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%% ODAVDJE POČINJE DOKUMENT


\begin{document}






\renewcommand{\thesection}{}

\section{Pismeni ispit iz Analize III, 02.09.2013.\\ ispit pisati isključivo hemiskom olovkom}
\setcounter{zad}{0}






\begin{zad}
(40\%) ($a$) Provjeriti da li funkcija $z=\varphi(x^2+y^2)$, u kojoj je $\varphi$ diferencijabilna funkcija, zadovoljava jednakost
$$
y\frac{\partial z}{\partial x}-x\frac{\partial z}{\partial y}=0.
$$


\hspace*{1mm}
(60\%) ($b$) Ako je $p=u^2\ln v$ pri čemu je 
$\displaystyle{
u=\frac{x}{y}
}$
i
$v=3x-2y$, odrediti 
$\displaystyle{
\frac{\partial p}{\partial x}
}$
i provjeriti da li vrijedi 
$\displaystyle{
\frac{\partial p}{\partial y}=
-\frac{2xu}{vy^2}(v\ln v+y).
}$
\end{zad}





\begin{zad}
Izračunati dvojni integral $I=\displaystyle{
\iint\limits_D  \arctg \frac{y}{x} \,\dx\dy
}$
gdje je\\
$\displaystyle{ 
D=\{(x,y):1\le x^2+y^2\le 9, \frac{x}{\sqrt{3}}\le y\le x\sqrt{3}\}}$.
\end{zad}


\begin{zad}
Data je kriva $c$ koja je dobijena kao presjek površina $x^2+y^2=r^2$ i $x^2=rz$ ($r>0$). Izračunati površinski integral $\displaystyle{\iint\limits_S \dx\dy}$ gdje je $S$ gornja strana površine koju zatvara kriva $c$.
\end{zad}


\begin{zad}
Data su skalarna polja $f=xyz$, $g=xy+yz+zx$.


$(a)$ Formirati vektorska polja $\vec{a}=\grad f$, $\vec{b}=\grad g$ i ispitati prirodu vektorskog polja $\vec{a}\times\vec{b}$ (drugim riječima odgovoriti na pitanje da li je polje $\vec{a}\times\vec{b}$ potencijalno ili solenoidno).


$(b)$ Izračunati $\displaystyle{ 
\int\limits_C (\vec{a}\times\vec{b})\dr
}$, gdje je $C$ duž koja spaja tačke $O(0,0,0)$ i $B(1,2,3)$.
\end{zad}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\section{Pismeni ispit iz Analize III, 02.09.2013.\\ ispit pisati isključivo hemiskom olovkom}
\setcounter{zad}{0}






\begin{zad}
(40\%) ($a$) Provjeriti da li funkcija $z=\varphi(x^2+y^2)$, u kojoj je $\varphi$ diferencijabilna funkcija, zadovoljava jednakost
$$
y\frac{\partial z}{\partial x}-x\frac{\partial z}{\partial y}=0.
$$


\hspace*{1mm}
(60\%) ($b$) Ako je $p=u^2\ln v$ pri čemu je 
$\displaystyle{
u=\frac{x}{y}
}$
i
$v=3x-2y$, odrediti 
$\displaystyle{
\frac{\partial p}{\partial x}
}$
i provjeriti da li vrijedi 
$\displaystyle{
\frac{\partial p}{\partial y}=
-\frac{2xu}{vy^2}(v\ln v+y).
}$
\end{zad}





\begin{zad}
Izračunati dvojni integral $I=\displaystyle{
\iint\limits_D  \arctg \frac{y}{x} \,\dx\dy
}$
gdje je\\
$\displaystyle{ 
D=\{(x,y):1\le x^2+y^2\le 9, \frac{x}{\sqrt{3}}\le y\le x\sqrt{3}\}}$.
\end{zad}


\begin{zad}
Data je kriva $c$ koja je dobijena kao presjek površina $x^2+y^2=r^2$ i $x^2=rz$ ($r>0$). Izračunati površinski integral $\displaystyle{\iint\limits_S \dx\dy}$ gdje je $S$ gornja strana površine koju zatvara kriva $c$.
\end{zad}


\begin{zad}
Data su skalarna polja $f=xyz$, $g=xy+yz+zx$.


$(a)$ Formirati vektorska polja $\vec{a}=\grad f$, $\vec{b}=\grad g$ i ispitati prirodu vektorskog polja $\vec{a}\times\vec{b}$ (drugim riječima odgovoriti na pitanje da li je polje $\vec{a}\times\vec{b}$ potencijalno ili solenoidno).


$(b)$ Izračunati $\displaystyle{ 
\int\limits_C (\vec{a}\times\vec{b})\dr
}$, gdje je $C$ duž koja spaja tačke $O(0,0,0)$ i $B(1,2,3)$.
\end{zad}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage
%%\vspace*{5mm}
\centerline{
Zadaci su skinuti sa stranice 
\underline{pf.unze.ba\slash nabokov}.}
\centerline{
Za uočene greške pisati na {\it infoarrt@gmail.com}
}


\end{document}
