\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=20mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{ae}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hvfloat}
\usepackage{esint}
\usepackage{lmodern} 
\usepackage[croatian, english]{babel}


\setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}




\raggedright
\hvFloat[%
onlyText=true,%
floatPos=htb,%
capWidth=0.5,% of \columnwidth
capPos=r,%
capVPos=c,%
objectPos=l]%
{}%
{\includegraphics{logo_unze}}%
[e]{\textbf{Univerzitet u Zenici}\\
\textbf{Pedago\v ski fakultet}\\
Odsjek: Matematika i informatika\\
Zenica, 05.09.2012.\\}%
{fig:text}




\vspace*{10mm}
\centerline {Pismeni ispit iz predmeta 
\textbf{Uvod u linearnu algebru}}

\vspace*{5mm}
\textbf {1.}
\hspace*{5mm}
a) Data je $n\times n$ Hilbertova matrica definisana sa
$$
H= \left [
\begin{matrix} 
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3}  & ... & \frac{1}{n} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}  & ... & \frac{1}{n+1} \\
\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}  & ... & \frac{1}{n+2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \, & \vdots \\
\frac{1}{n} & \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+2}  & ... & \frac{1}{2n-1}
\end{matrix}
\right].
$$ 
Primjetimo da je npr. $h_{11}=1,$ $h_{23}=\frac{1}{4},$ $h_{3n}=\frac{1}{n+2}.$ Izraziti proizvoljan element $h_{ij}$ pomoću formule u kojoj figurišu indeksi $i$ i $j.$

\vspace*{2mm}
\hspace*{5mm}
b) Neka je $V$ skup uređenih parova $(x,y)$ realnih brojeva, $V=\{(x,y)\,|\,x,y\in\mathbb{R}\},$ i neka je na $V$ definisano sabiranje na sljedeći način
$$
(x,y)+(u,v)=(\sqrt{x^2+u^2}, \sqrt{y^2+v^2}).
$$
Odrediti da li je $(V,+)$ grupa. Da li je grupa Abelova?\\





\vspace*{5mm}
\textbf {2.}
\hspace*{5mm}
Odrediti za koje vrijednosti parametra $a\in \mathbb{R}$ će determinanta $n$-tog reda
$$
\left|
\begin{matrix} 
1 & 1 & 1  & ... & 1\\
1 & 1-a & 1  & ... & 1\\
1 & 1 & 2-a  & ... & 1\\
\vdots & \vdots & \vdots & \, & \vdots \\
1 & 1 & 1  & ... & (n-1)-a
\end{matrix}
\right|
$$
imati vrijednost različitu od nule.\\








\vspace*{5mm}
\textbf {3.}
\hspace*{5mm}
a) Odrediti opšte rješenje homogenog sistema\\


\vspace*{-6mm}
\begin{alignat*}{4}
2x  & \,\,+\,\, & y &\,\,+\,\,&  z &= 0\\
4x  & \,\,+\,\, & 2y &\,\,+\,\,&  z &= 0\\
6x  & \,\,+\,\, & 3y &\,\,+\,\,&  z &= 0\\
8x  & \,\,+\,\, & 4y &\,\,+\,\,&  z &= 0\,\,\, .\\
\end{alignat*}





\vspace*{-8mm}
\hspace*{5mm}
b) Objasniti zašto linearni sistem od $m$ jednačina sa $n$ nepoznatih ($m,n\ge 2$) nikad ne može imati tačno dva različita rješenja. Proširiti svoje argumente u objašnjenju i obrazložiti da li je tačno da ako sistem ima više od jednog rješenja, tada mora imati beskonačno mnogo različitih rješenja.\\







\vspace*{5mm}
\textbf {4.}
\hspace*{5mm}
Odrediti minimalni polinom matrice 
$A=
\left[
\begin{matrix} 
5 & 1 & 2 \\
-4 & 0 & -2 \\
-4 & -1 & -1 \\
\end{matrix}
\right].$
Šta je minimalni polinom?\\
 











\newpage
\centerline{
Zadaci su skinuti sa stranice 
\underline{pf.unze.ba\slash nabokov}.}
\centerline{
Za uočene greške pisati na {\it infoarrt@gmail.com}
}




\end{document}