\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[left=15mm,right=17mm,top=17mm,bottom=8mm] {geometry}
\usepackage{ae}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ae}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hvfloat}







\setlength{\textheight}{270mm}
\setlength{\textwidth}{185mm}
\begin{document}
\raggedright


\hvFloat[%
onlyText=true,%
floatPos=htb,%
capWidth=0.5,% of \columnwidth
capPos=r,%
capVPos=c,%
objectPos=l]%
{}%
{\includegraphics{logo_unze}}%
[e]{\textbf{Univerzitet u Zenici}\\
\textbf{Pedago\v ski fakultet}\\
Odsjek: Matematika i informatika\\
Zenica, 20.06.2012.\\}%
{fig:text}












\vspace*{11mm}

\centerline {Pismeni ispit iz 
predmeta \textbf{Uvod u linearnu algebru}, 20.06.2012.}


\vspace*{5mm}\textbf{1. } (a)
Neka su $R_1$ i $R_2$ dvije relacije na skupu $S.$\\
(i) Mora li $R_1\cup R_2$ biti refleksivna, aku su $R_1$ i $R_2$ refleksivne.\\
(ii) Mora li $R_1\cup R_2$ biti simetri\v cna, aku su $R_1$ i $R_2$ simetri\v cne.\\
(iii) Mora li $R_1\cup R_2$ biti tranzitivna, aku su $R_1$ i $R_2$ tranzitivne.\\
(Prisjetimo se: Relacija $R$ na skupu $S$ je podskup Dekartovog proizvoda $S\times S,$ tj. skup \v ciji su elementi ure\dj eni parovi $(s_1,s_2)$).





\vspace*{1mm}
\hspace*{6mm} (b) Za date matrice
$A=
\begin{bmatrix}
1& -1& 1& 1\\
1& 1& -1& -1\\
1& 1& 1& -1\\
-1& 1& 1& 1\\
\end{bmatrix},$ 
$B=
\begin{bmatrix}
-1& -2& 2& -1\\
1& 4& -2& 3\\
0& -4& 2& -2\\
2& 6& -2& 2\\
\end{bmatrix}$ i 
$C=
\begin{bmatrix}
0& 0& 1& 1\\
1& 1& 0& 0\\
1& 1& 1& 0\\
-1& 1& 1& 0\\
\end{bmatrix},
$
provjeriti da li vrijedi jednakost $B=4C^{-1}A^{-1}.$\\




\vspace*{3mm}
\textbf{2. }
Izra\v cunati determinantu n-tog reda
$
\left|
\begin{matrix}
1& 1& 1& ...& 1 & 1\\
1-x& 1& 1& ...& 1 & 1\\
1& 1-x& 1& ...& 1 & 1\\
\vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots & \vdots\\
0& 0& 0& ...& 1 & 1\\
0& 0& 0& ...& 1-x & 1\\
\end{matrix}
\right|.
$




\vspace*{3mm}\textbf{3. }
Rije\v siti sistem jedna\v cina za razne vrijednosti parametra $\lambda:$
\begin{alignat*}{5}
-2x_1  &+& x_2 &-&  3x_3 &-& 4x_4 &= -5\\
2\lambda x_1 &-&  8x_2 &+& 18x_3 &+&  20x_4 &= 22\\
-6x_1  &+&  3x_2 &-& 7x_3 &-& 8x_4  &= -9\\
4x_1  &-&  2x_2 &+& 5x_3 &+& 6x_4  &= 7\,\, .\\
\end{alignat*}






\vspace*{3mm}\textbf{4. }
(60\%) (a)
Dat je skup $P_2[x],$ skup svih polinoma sa realnim koeficijentima i stepena najvi\v se 2, tj.
$$
P_2[x]=\{p_0+p_1x+p_2x^2\,|\,p_0,p_1,p_2\in \mathbb R\}.
$$
Dokazati da je $P_2[x]$ vektorski prostor, gdje je sabiranje elemenata iz $P_2[x]$ definisano kao "obi\v cno" sabiranje polinoma, dok je mno\v zenje elemenata iz $P_2[x]$ sa skalarom definisano kao obi\v cno mno\v zenje skalara sa polinomom.\\
\vspace*{1mm}
(40\%) (b) Posmatrajmo skup $T=\{a,b,...\}$ sa najmanje dva \v clana. Neka je FUN$(T,T)$ skup svih funkcija koje preslikavaju $T$ u $T.$ Dokazati ili oboriti sljede\' cu tvrdnju: Operacija kompozicije $\circ$ je komutativna na skupu FUN$(T,T).$





\newpage


\centerline{(Rje\v senja su skinuta sa stranice $\backslash${pf.unze.ba$\backslash$nabokov}}
\centerline{Za sve uo\v cene gre\v ske pisati na
\textbf{infoarrt@gmail.com})}













\end{document}