\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=18mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae, arcs}
\usepackage{esint, hvfloat}
\usepackage[croatian, english]{babel}



\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {2.4mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {2.5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  

 

%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\def\ug{{{\measuredangle}}}
\def\tr{{{\triangle}}}


\setlength{\textheight}{262mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}


\raggedright



\renewcommand{\thesection}{}

\section{4 Elementarni zadaci - Trapez i pravougli trougao}



\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}
{
Elementarna pitanja:


\hspace*{5mm}
1. Kako glasi definicija trapeza?


\hspace*{5mm}
2. Ako je dat trougao $\triangle ABC$ u kome vrjedi da je $\ug CAB=\ug ABC=\alpha$, kako bi dokazali da je $AC\cong BC$?


\hspace*{5mm}
3. Ako je $\tr ABC$ pravougli trougao i tačka $M$ sredina hipotenuzom $AC$, kako bi dokazali da je $AM\cong CM\cong BM$?



\hspace*{5mm}
4. Na koji način bi dokazali da je ugao nad prečnikom prav? (sl)
}}






\begin{zad}
Definicija trapeza: Trapez je \v cetverougao koji ima ta\v cno jedan par paralelnih stranica. Obrazlo\v ziti odgovor na pitanje: Da li je paralelogram trapez? Koriste\' ci isklju\v civo formulu za povr\v sinu pravouglog trougla $(P={ab\over 2})$ izvesti formulu za povr\v sinu trapeza ($P={1\over 2}(a+c)h$ gdje su $a$ i $c$ du\v zine dvije paralelne stranice, a $h$ udaljenost izme\dj u njih).
\end{zad}


\begin{zad}
Ako su kraci trapeza me\dj usobno normalni, dokazati da je zbir kvadrata osnovica jednak zbiru kvadrata dijagonala.
\end{zad}




\begin{zad}
Dijagonala razbija jednakokraki trapez na dva jednakokraka trougla. Odrediti uglove tog trapeza.
\end{zad}




\begin{zad}
U jednakokrakom trapezu srednja linija ima du\v zinu $5\,cm$, a dijagonala je dva puta du\v za od srednje linije. Kolika je povr\v sina tog trapeza?
\end{zad}



\begin{zad}
Ta\v cka $D$ je podno\v zje visine koja odgovara hipotenuzi $AB$ pravouglog trougla $\triangle ABC$, a $M$ i $N$ su redom sredine du\v zi $CD$ i $BD$. Dokazati da $p(A,M)\bot p(C,N)$.
\end{zad}







%%{\includegraphics[scale=1]{01}}








\section{Geometrija u prostoru (nastavak)}


\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}
{
Neke teoreme i njihove posljedice:


\hspace*{5mm}
{\bf 11.} Moguće je nacrtati pravu koja je okomita na datu ravan iz date tačke van te ravni.


\hspace*{5mm}
{\bf 12.} Također je moguće nacrtati pravu koja je okomita na datu ravan, iz date tačke koja joj pripada.

\hspace*{5mm}
{\bf 13.} Samo jedna okomita prava se može nacrtati na datu ravan iz date tačke, bez obzira da li tačka pripadala ili ne toj ravni.


\hspace*{5mm}
{\bf 14.} Ravni na koje je ista prava okomita su međusobno paralelne.

\hspace*{5mm}
{\bf 15.} Ako su dvije prave koje se sijeku u jednoj ravni, redom paralelne na dvije prave koje se sijeku u nekoj drugoj ravni, dvije date ravni su paralelne.

\hspace*{5mm}
{\bf 16.} Ako dvije paralelne ravni siječe neka ravan, njihovi zajednički presjeci su međusobno paralelni.

\hspace*{5mm}
{\bf 17.} Ako dvije paralelne ravni sijeku dvije prave, njihovi presjeci su u istom omjeru.

\hspace*{5mm}
{\bf 18.} Ako je prava okomita na ravan, tada je svaka ravan koja prolazi kroz tu pravu okomita na tu ravan.

\hspace*{5mm}
{\bf 19.} Ako su dvije ravni koje se sijeku okomite na neku ravan, tada je njihov presjek također okomit na tu ravan.

\hspace*{5mm}
{\bf Dieadar} je skup od dvije poluravni čija je ivica zajednička prava. Ta prava se zove ivica diedra a poluravni su strane diedra.

\hspace*{5mm}
{\bf Treidar} (ili trostrani poliedarski ugao) je ugao u prostoru napravljeno od tri poluprave koje imaju početak u istoj tački i ne leže u jednoj ravni. Uglovi koje obrazuju po dvije od ovih polupravih nazivaju se ivični uglovi ili strane tridera.

\hspace*{5mm}
{\bf 20.}   Ako je ugao u prostoru sadržan (okružen, ograničen) sa tri ugra iz ravni, bilo koja dva od njih su zajedno veći od trećeg.


\hspace*{5mm}
{\bf Poliedar} je geometrisko tijelo trodimenzionalnog Euklidskog prostora ograničeno površima ravnih mnogouglova.

\hspace*{5mm}
{\bf 21.}  Svaki ugao u prostoru je sadržan unutar uglova iz ravni (ivičnih uglova) čiji ukupan zbir je manji od četri prava ugla.

\hspace*{5mm}
{\bf Korolar} Postoji samo pet pravilnih (regularnih) poliedara.

\hspace*{5mm}
($i$) Najmanje tri strane se moraju sijeći da bi formirale ugao u prostoru bilo kojeg regularnog poliedra.

\hspace*{5mm}
($ii$) Suma ivičnih uglova (uglova iz ravni) koji formiraju bilo koji ugao u prostoru je manja od četri prava ugla.
}}



\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}{
\hspace*{5mm}
Sad primjetimo da je zbir tri ugla pravilnog šestougla jednak zbiru četri prava ugla, a da je zbir tri ugla bilo kojeg pravilnog mnogougla sa više od šest uglova, veći od zbira četri prava ugla. Time stranice pravilnih poliedara moraju biti istostranični trouglovi, kvadrati, ili pravilni petouglovi.


\hspace*{5mm}
{\bf 21.1.} Ako su strane istostranični trouglovi, svaki ugao u prostoru (poliedarski ugao) se može formirati sa: $(i)$ Tri istostranična trougla. Tijelo tako dobijeno nazivamo tetraedar. $(ii)$ Četri istostranična trougla. Tijelo tako dobijeno nazivamo oktaedar. $(iii)$ Pet istostraničnih trouglova. Tijelo tako dobijeno je ikosaedar. Zbir uglova šest istostraničnih trouglova je četri prava ugla i time nemogu formirati ugao u prostoru.
}}





\begin{zad}
$DABC$ je tetraedar sa bazom $ABC$ i vrhom $D$. Neka su $E,F,G$ sredine duži $BC$, $CA$ i $AB$ redom. Ako su $DF$, $DG$ okomice na $AC$, $AB$ i ako je $\measuredangle BAC$ pravi ugao, pokazati da je $DE$ okomito na bazu $ABC$.
\end{zad}




\begin{zad}
$AD$ i $BC$ su dvije okomice iz tački $A$, $B$ na datu ravan $\alpha$. Neka je $\beta$ ravan koja sadrži tačku $A$, okomita je na $AB$ i neka siječe ravan $\alpha$ po pravoj $p(E,F)$. Dokazati da je $CD\bot EF$.
\end{zad}





\begin{zad}
Neka je $\square ABCD$ kvadrat i neka je $a$ dužina njegove stranice. Iz $A$ i $C$ date su dvije okomice $AE$ i $CF$ na ravan $ABCD$ takve da $AE\cong AC$ i $CF=\frac{3}{2}AC$. Prvo dužine $BE$, $EF$ i $BF$ izraziti preko stranice $a$, a poslije toga pokazati da je trougao $\tr BEF$ pravougli sa pravim uglom kod vrha $E$, kao i da je $FE$ okomito na ravan $BDE$.
\end{zad}





\begin{zad}
$ABCD$ je tetraedar u kome su $\measuredangle ABC$, $\measuredangle ADC$ pravi uglovi. Ako su $M$ i $N$ redom sredine stranica $BD$ i $AC$, i ako je $AM\cong MC$, pokazati da je $MN$ najkraća udaljenost između $AC$ i $BD$.
\end{zad}



{\includegraphics[scale=0.90]{10}}



\vspace*{2mm}
{\includegraphics[scale=1]{11}}


\begin{zad}
$M$ je vrh piramide čija je baza paralelogram $\square ABCD$. Na strani $BCM$ nacrtana je prava $p(E,F)$ paralelno sa pravom $p(B,C)$ tako da siječe ivice piramide $MB$, $MC$, redom, u tačkama $E$ i $F$. Pokazati da postoji presjek polupravih $pp[A,E)$ i $pp[D,F)$, recimo u tački $N$, i da je $p(M,N)\| p(C,D)$. Da li je $p(M,N)$ paralelna i sa ravni $ABCD$ (objasniti zašto)?
\end{zad}





\begin{zad}
$AB$, $BC$ i $CD$ su tri ivice kocke čija je glavna dijagonala $AD$. Pokazati da je ugao između ravni $ABD$ i $ACD$ dvije trećine ($\frac{2}{3}$) pravog ugla.
\end{zad}





\end{document}