\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=18mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae, arcs}
\usepackage{esint, hvfloat}
\usepackage[croatian, english]{babel}



\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {2.4mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {2.5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  

 

%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\def\ug{{{\measuredangle}}}
\def\tr{{{\triangle}}}


\setlength{\textheight}{262mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}


\raggedright



\renewcommand{\thesection}{}

\section{Elementarni zadaci - Paralelogram}



\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}
{
Elementarna pitanja:


\hspace*{5mm}
1. Četverougao je paralelogram akko ima paralelne one stranice...


\hspace*{5mm}
2. Kako glasi prvi potreban i dovoljan uslov da bi četverougao bio paralelogram (četverougao je paralelogram akko ima podudarne one stranice...)


\hspace*{5mm}
3. Kako glasi drugi potreban i dovoljan uslov da bi četverougao bio paralelogram (četverougao je paralelogram akko ima najmanje jedan par suprotnih stranica koje su istovremeno...)



\hspace*{5mm}
4. Kako glasi treći potreban i dovoljan uslov da bi četverougao bio paralelogram (četverougao je paralelogram akko mu se dijagonale...)
}}






\begin{zad}
Definicija paralelograma: Četverougao je paralelogram ako i samo ako ima paralelne one stranice koje su suprotne jedna drugoj. Koristeći isključivo ovu definiciju, teoreme o podudarnosti trouglova i teoremu o podudarnosti uglova na transferzali dokazati sljedeću tvrdnju: Četverougao $\square ABCD$ je paralelogram akko ima jedan par suprotnih stranica koje su istovremeno paralelne i podudarne.
\end{zad}



\begin{zad}
Definicija paralelograma: Četverougao je paralelogram ako i samo ako ima paralelne one stranice koje su suprotne jedna drugoj. Koristeći isključivo ovu definiciju i teoreme o podudarnosti trouglova dokazati sljedeću tvrdnju: Četverougao $\square ABCD$ je paralelogram akko ima podudarne suprotne stranice.
\end{zad}


\begin{zad}
Definicija paralelograma: Četverougao je paralelogram akko ima paralelne one stranice koje su suprotne jedna drugoj. Koristeći isključivo ovu definiciju, teoreme o podudarnosti trouglova i teoremu o podudarnosti uglova na transferzali, dokazati sljedeću tvrdnju: Četverougao $\square ABCD$ je paralelogram akko mu se dijagonale polove.
\end{zad}


\begin{zad}
Koristeći isključivo formulu za površinu pravouglog trougla ($P={a\cdot b\over 2},$ gdje su $a$ i $b$ katete) izvesti formulu za površinu paralelograma ($P=a\cdot h,$ gdje je $AB=a,$ a $h$ udaljenost između stranica $AB$ i $CD$).
\end{zad}


\begin{zad}
Svaka prava koja sadr\v zi presjek dijagonala paralelograma i sije\v ce jednu stranicu, sije\v ce i suprotnu stranicu. Njen odsje\v cak je raspolovljen presje\v cnom ta\v ckom dijagonala. Dokazati.
\end{zad}


\begin{zad}
Posmatrajmo površine devet različitih kvadrata
$P_{11},$ $P_{12},$ $P_{13},$ $P_{21},$ $P_{22},$ $P_{23},$ $P_{31},$ $P_{32}$ i $P_{33}.$ Za ove površine znamo da vrijedi jednakost
$
P_{11}+P_{12}+P_{13}=
P_{21}+P_{22}+P_{23}=
P_{31}+P_{32}+P_{33}=
P_{11}+P_{21}+P_{31}=
P_{12}+P_{22}+P_{32}=
P_{13}+P_{23}+P_{33}=
P_{11}+P_{22}+P_{33}=
P_{13}+P_{22}+P_{31}.
$ Ako su $P_{12}=21,$ $P_{13}=14,$ $P_{23}=19$ i
$P_{31}=20,$ diskutovati da li se mogu odrediti povr\v sine $P_{11},$ $P_{22}$ i $P_{33}.$
\end{zad}


\begin{zad}
Zadan je kvadrat $\square ABCD$ du\v zine stranice $1\,dm$. Na\' ci polupre\v cnik kru\v znice koja dodiruje njegove dvije stranice i prolazi kroz njegov jedan vrh.
\end{zad}





\hvFloat[%
onlyText=true,%
floatPos=htb,%
capWidth=1.0,% of \columnwidth
capPos=l,%
capVPos=c,%
objectPos=r]%
{}%
{\includegraphics{pravougaonik}}%
[e]{{\begin{zad}
Pravougaonik je podjeljen na 9 manjih pravougaonika. Povr\v sine pet od njih su 5, 3, 9, 2 i 2 $cm^2$ (vidi sliku). Odrediti povr\v sinu pravougaonika.
\end{zad}
}}%
{fig:text}





%%{\includegraphics[scale=1]{01}}








\section{Geometrija u prostoru}


\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}
{
Neke teoreme i njihove posljedice:


\hspace*{5mm}
{\bf 1.} Ako jednu pravu podjelimo na dijelove, ne može se desiti da jedan dio te prave pripada ravni a da drugi ne pripada.

\hspace*{5mm}
{\bf 2.} Dvije prave koje se sijeku pripadaju jednoj ravni, i tri prave od kojih svaka siječe druge dvije pripadaju istoj ravni.

\hspace*{5mm}
{\bf Korolar 1.} Ako tri prave, koje ne pripadaju istoj ravni, imaju osobinu da se svake dvije sijeku, tada se one sijeku u istoj tački.

\hspace*{5mm}
{\bf Korolar 2.} Nešto slično vrijedi ako su date četri prave: Ako, od četri date prave, ne postoje tri koje se nalaze u istoj ravni, i ako svaka od tih pravih siječe druge dvije, sve prave se sijeku u istoj tački.


\hspace*{5mm}
{\bf 3.} Ako se dvije ravni sijeku, rezultat njihovog presjeka je prava.

\hspace*{5mm}
{\bf 4.} Ako je prava okomita na da dvije date prave u presječnoj tački u kojoj se one sijeku, ona je okomita na ravan kojoj ove dvije prave pripadaju.
}}






\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}
{
\hspace*{5mm}
{\bf 5.} Ako se tri prave sijeku u jednoj tački, i ako je četvrta prava okomita na svaku od ovih u toj tački, tada prve tri prave pripadaju jednoj istoj ravni.



\hspace*{5mm}
{\bf 6.} Dvije prave koje su okomite na istu ravan su paralelne.


\hspace*{5mm}
{\bf 7.} Ako su dvije prave paralelne, tada bilo koja prava koja spaja proizvoljnu tačku prve prave sa proizvoljnom tačkom druge prave pripada ravni kojoj pripadaju i dvije paralelne prave.

\hspace*{5mm}
{\bf 8.} Ako su dvije prave paralelne i jedna od njih je okomita na ravan, i druga je okomita na istu ravan.

\hspace*{5mm}
{\bf 9.} Prave koje su paralelne istoj pravoj, čak iako nisu u istoj ravni sa njom, su paralelne jedna sa drugom.

\hspace*{5mm}
{\bf 10.} Ako su dvije prave koje se sijeku, redom paralelne sa druge dvije prave koje se sijeku, gdje ovi parovi presječnih pravih ne moraju biti u istoj ravni, prve dvije i druge dvije grade jednake uglove.
}}





\begin{zad}
Neka su $M$, $N$, $P$ i $Q$ različite tačke neke ravni $\alpha$ takve da je tačka $S$ presječna tačka prave određena tačkama $P$ i $Q$ i pri tome važi $MS\cong NS$ i $PS\cong QS$. Ako je $A$ tačka van ravni $\alpha$ takva da je $AM\cong AN$ i $AP\cong AQ$, dokazati da je prava $AS$ normalna na ravan $\alpha$. (Napomena: Ako je prava $n$ normalna na dvije date prave $a$ i $b$ ravni $\alpha$ koje se sijeku, tada je $n\bot\alpha$.)
\end{zad}


\begin{zad}
Ako su $P$ i $Q$ redom, tačke mimoilaznih pravih $p$ i $q$ euklidskog prostora takve da je prava $p(P,Q)$ normalna na pravama $p$ i $q$, dokazati da je duž $PQ$ kraća od svih ostalih duži koje spajaju tačke pravih $p$ i $q$. (Napomena: Postoji jedinstvena prava $n$ koja siječe dvije mimoilazne prave $p$ i $q$ i okomita je na njih.)
\end{zad}


\begin{zad}
Neka je $CEDF$ data ravan $\alpha$, i neka je tačka $A$ van nje ($A\not\in\alpha$). Ako je $AC$ okomica na ravan $\alpha$ i $CD$ okomica na pravu $p(E,F)$ u ravni, pokazati da je $AD\bot EF$.
\end{zad}



\begin{zad}
Nacrtati pravu (npr. nacrtati prvu $p(C,G)$) tako da je okomite na svaku od dvije date prave (npr. okomita je na $p(A,B)$ i $p(C,D)$) koje ne pripadaju istoj ravni. Dokazati da je ova zajednička okomica (u ovom slučaju duž $CG$) najkraća udaljenost između pravih.
\end{zad}



\begin{zad}
Prava $ABCD$ siječe dvije paralelne ravni $\alpha$ i $\beta$ u tačkama $B$ i $C$ ($B\in\alpha$, $C\in\beta$) tako da je $AB=CD$. Neka su $p$ i $q$ dvije transferzale redom iz tački $A$ i $D$ koje sijeku rani $\alpha$ i $\beta$ redom u tačkama $E,F$ i $G,H$. Pokazati da su $\tr BEG$ i $\tr CFH$ troulovi čije su površine jednake.
\end{zad}





\centerline{\includegraphics[scale=1]{05}}



\begin{zad}
U prostoru su date tačke $A$, $B$, $C$ i $D$. Ako su uglovi $\ug ABC$, $\ug BCD$, $\ug CDA$ i $\ug DAB$ pravi, dokazati da su tačke $A$, $B$, $C$ i $D$ koplanarne.
\end{zad}




\begin{zad}
U prostoru su date tačke $A$ i $B$ i prava $\ell$. Odrediti ravan $\alpha$ takvu da ona sadrži tačku $B$ i da podnožje normale iz tačke $A$ na ravan $\alpha$ pripada pravoj $\ell$.
\end{zad}





{\bf Upute-rješenja:}
{\small
{\bf11.} Nacrtajmo sliku i posmatrajmo prvave $p(A,E)$, $p(C,E)$. Rješimo zadatak: Kako je $AC\bot\alpha$ to je $AC\bot CD$ i $CE$. Time $AD^2=AC^2+CD^2$ i $AE^2=AC^2+CE^2$ $\Rightarrow$ $AE^2-AD^2=CE^2-CD^2$. Ali $CD\bot EF$ $\Rightarrow$ $CE^2-CD^2=DE^2$ $\Rightarrow$ $AE^2-AD^2=DE^2$ $\Rightarrow$ $\ug ADE$ je pravi ugao što je ekvivalentno sa $AD\bot EF$. {\bf12.} Nacrtajmo sliku: Neka su $AB$, $CD$ dvije date prave. Kroz bilo koju tačku $A$ prave $p(A,B)$ nactajmo $AE\|CD$. Nacrtajmo $DF\bot\alpha$ ($\alpha$ je ravan $ABE$) i $FG\| AE$ siječe pravu $AB$ u tački $G$. Neka je $DC$ podudarna sa $FG$ i posmatrajmo $p(C,G)$. Rješimo zadatak: $CD,FG$ su $\| AE$ $\Rightarrow$ $CD\| FG$ i $DF\bot\alpha$ $\Rightarrow$ $CG\bot\alpha$  $\Rightarrow$ $CG\bot AB$ i $GF$, a imamo i $GF\| CD$ $\Rightarrow$ $CG\bot AD$ i $CD$. Sad posmatrajmo bilo koju drugu pravu $p(D,H)$ između pravih $p(A,B)$ i $p(C,D)$. Kako je $DF\bot\alpha$ $\Rightarrow$ $DF\bot FH$ $\Rightarrow$ $DH>DF$ tj od $CG$. {\bf13.} Ravan $ACF$ siječe dvije $\|$ ravni $\Rightarrow$ $BE\| CF$. Slično $BG\|CH$. Time $\ug EBG\cong\ug FCH$. Ponovo, $AB/AC=BE/CF=CD/BD=CH/BG$ $\Rightarrow$ $BE/CF=CH/BG$. Prema tome, $\tr$ovi $\tr EBG$, $\tr FCH$ imaju oba ugla $\ug EBG$, $\ug FCH$ podudarna...
}



\end{document}