\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=18mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae, arcs}
\usepackage{esint, hvfloat}
\usepackage[croatian, english]{babel}



\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {2.4mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {2.5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  

 

%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\def\ug{{{\measuredangle}}}



\setlength{\textheight}{262mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}


\raggedright



\renewcommand{\thesection}{}

\section{Elementarni zadaci - Dokazi u vezi trougla}



\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}
{
Elementarna pitanja:


\hspace*{5mm}
1. Nabrojati svih pet stavova o podudarnosti trouglova! Koju dodatnu osobinu stav SSU mora zadovoljiti?

\hspace*{5mm}
2. Šta je $\pi$? Šta je stepen? Šta je prav ugao? Kako pomoću šestara podjeliti ugao na tri dijela sa vrlo vrlo približnom tačnošću?

\hspace*{5mm}
3. Šta je srednja linija trougla i koje osobine ima?
}}






\begin{zad}
Neka je $I$ centar upisanog kruga $\triangle ABC$, ($AB<BC$), ta\v cka $S$ centar opisanog kruga $k$ oko trougla $\triangle ABC$ i ta\v cka $M$ sredina stranice $AC$. Ako su $P$ i $N$ ta\v cke dobijene presjekom prave $p(M,S)$ i kruga $k$ (gdje su ta\v cke $B$ i $N$ sa jedne strane, a ta\v cka $P$ sa druge strane prave $p(A,C)$), dokazati da je $\triangle BNI$ pravougli trougao.
\end{zad}




\begin{zad}
Neka je $I$ centar upisanog kruga trougla $\triangle ABC$ (AB<BC), $k$ krug opisan oko trougla 
$\triangle ABC$ i ta\v cka $P$ presje\v cna ta\v cka poluprave $pp[B,I)$ i kruga $k$. Dokazati da je 
$\triangle AIP$ jednakokraki.
\end{zad}




\begin{zad}
Postoji li trougao \v cije su du\v zine visina $h_a=2\,cm$, $h_b=4\,cm$ i $h_c=6\,cm$?
\end{zad}



\begin{zad}
Neka je $I$ centar upisanog kruga trougla $\triangle ABC$ (AB<BC). Neka je $k$ krug opisan oko trougla 
$\triangle ABC$ i ta\v cka $P$ sredi\v ste luka AC (kojem ne pripada ta\v cka B) kruga $k$. Dokazati da $I$ pripada du\v zi $BP$.
\end{zad}




{\includegraphics[scale=1]{01}}





\begin{zad}
Dokazati da su dva trougla $\triangle ABC$ i $\triangle A'B'C'$ podudarna ako je $c=c'$, $h_c=h_{c'}$ i $t_c=t_{c'}$, gdje su $h_c$ i $h_{c'}$ visine, a $t_c$ i $t_{c'}$ te\v zi\v snice trougla $\triangle ABC$ i $\triangle A'B'C'$ redom na stranice $c$ i $c'$.
\end{zad}




\begin{zad}
Iz jednog tjemena o\v strouglog trougla konstruisana je visina, iz drugog simetrala ugla a iz tre\' ceg te\v zi\v sna du\v z. Dokazati da trougao kojeg obrazuju njihove presje\v cne ta\v cke ne mo\v ze biti jednkostrani\v can.
\end{zad}




\begin{zad}
Dat je krug $k$ sa centrom u ta\v cki $S$ i pre\v cnikom $AB$ ($A,B\in k$, $S\in AB$). Na krugu $k$ odrediti ta\v cku $C$ tako da zbir du\v zi $AC+BC$ bude najve\' ci. Odgovor obrazlo\v ziti.
\end{zad}


{\includegraphics[scale=1]{02}}

%%{\includegraphics[scale=0.7]{02}}




\begin{zad}
Neka je $AB$ najmanja stranica trougla $\triangle ABC$ i neka je $M$ proizvoljna tačka u unutrašnjosti trougla $\triangle ABC$. Dokazati da je $MA+MB+MC<AC+BC$.
\end{zad}


\begin{zad}
Ako sva tri tjemena trougla $\triangle A_1B_1C_1$ pripadaju unutrašnjosti $\triangle ABC$, tada je obim $\triangle A_1B_1C_1$ manji od obima trougla $\triangle ABC$. Dokazati.
\end{zad}










\section{Aksioma paralelnosti}



\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}
{
\hspace*{5mm}
Još od doba starih grka pa sve do 19 vijeka postavljalo se pitanje koliko je pravih koje sadrže tačku $A$ a ne sijeku pravu $a$ ($A\not\in a$). Tek je u 19 vijeku postalo jasno da se ovaj problem ne može riješiti na osnovu do tada poznatih aksioma i njihovih posljedica. Problem je riješen tako što je uvedena nova aksioma - aksioma paralelnosti. To je aksioma koja čini V grupu aksioma


%%\vspace*{3mm}
%%\centerline{V Aksioma paralelnosti}


\vspace*{3mm}
$V_E$  Za svaku pravu $a$ i svaku tačku $A$ koja nije incidentna sa pravom $a$, postoji u ravni $aA$ jedna i samo jedna prava koja je incidentna sa tačkom $A$ i ne siječe pravu $a$.
}}



\begin{zad}
Date su tri komplanarne prave $a$, $b$, $c$. Ako je $a\| b$ i $b\| c$ tada je $a\| c$. Dokazati.
\end{zad}



\begin{zad}
Neka su $a$, $b$ i $c$ tri prave prostora od kojih su svake dvije komplanarne. Tada: Ako se dvije od njih sijeku i treća sadrži tu presječnu tačku, a ako su dvije od njih paralelne i treća je paralelna sa svakom od ovih pravih. Dokazati.
\end{zad}



{\includegraphics[scale=1]{05}}




\begin{zad}
Neka su $a$, $b$ i $c$ tri prave u prostora. Ako je $a\| b$ i $b\| c$ tada je $a\| c$. Dokazati.
\end{zad}




\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}
{
\hspace*{5mm}
Prava $a$ je \underline{\it paralelna} sa ravni $\alpha$ ako je ona paralelna sa svojom normalnom projekcijom na tu ravan. To zapisujemo ovako $a\|\alpha$.
}}









{\includegraphics[scale=1]{08}}



\hvFloat[%
onlyText=true,%
floatPos=htb,%
capWidth=1.0,% of \columnwidth
capPos=r,%
capVPos=c,%
objectPos=l]%
{}%
{\includegraphics[scale=1]{09}}%
[e]{{
\begin{zad}
Ako jedna od dvije paralelne prave siječe ravan siječe je i druga. Dokazati.
\end{zad}
\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}
{
\hspace*{5mm}
Prava $a$ je \underline{\it normalna} (\underline{\it okomita}) na ravan $\alpha$ ako ona siječe ravan u nekoj tački $A$ i ako je okomita (normalna) na svaku pravu iz ravni $\alpha$ koja sadrži tačku $A$. To zapisujemo ovako $a\bot \alpha$.
}}
\begin{zad}
Ako je jedna od dvije paralelne prave normalna na ravan normalna je i druga. Dokazati.
\end{zad}
\begin{zad}
\underline{\it Ugao između mimoilaznih pravih} $a$ i $b$ definiše se kao ugao između pravih $a'$ i $b'$ koje se sijeku i pri tome je $a'\| a$ i $b'\| b$. Dokazati da ugao između mimoilaznih pravih $a$ i $b$ ne zavisi od izbora pravih $a'$ i $b'$, tj. da su svi tako dobijeni uglovi međusobno podudarni.
\end{zad}
}}{fig:text}






\end{document}