\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=18mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae, arcs}
\usepackage{esint, hvfloat}
\usepackage[croatian, english]{babel}



\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {2.4mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {2.5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  

 

%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\def\ug{{{\measuredangle}}}



\setlength{\textheight}{262mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}


\raggedright



\renewcommand{\thesection}{}

\section{Elementarni zadaci iz EG I - Računanje uglova u trouglu}




\begin{zad}
Te\v zi\v snica i visina iz vrha A u $\triangle ABC$
djele ugao $\alpha$ na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla $\triangle ABC$.
\hfill{$[\alpha=90^\circ,\beta=60^\circ,\gamma=30^\circ]$}
\end{zad}




\begin{zad}
U trouglu $\triangle ABC$ je 
$\measuredangle ABC=2\measuredangle BAC$ i te\v zi\v sna linija $CM$ je normalna (ortogonalna) na simetralu $BD$ ugla $\measuredangle ABC$. Odrediti uglove trougla $\triangle ABC$.
\hfill{$[\alpha=30^\circ,\beta=60^\circ,\gamma=90^\circ]$}
\end{zad}



%%{\includegraphics[scale=0.7]{01}}




\begin{zad}
Dat je jednakokraki - pravougli trougao $\triangle ABC$ s pravim uglom kod vrha $C$. Nad stranicom (katetom) $BC$ konstruisan je jednakostrani\v cni trougao $\triangle BCD$ (razlikovati dva slu\v caja, kad je ta\v cka $D$ sa one strane prave $p(A,B)$ sa koje nije ta\v cka $C$ i kad je ta\v cka $D$ sa one strane prave $p(B,C)$ sa koje nije ta\v cka $A$). Izra\v cunati veli\v cinu ugla $\measuredangle ADB$.
\hfill{$[1^\circ \ug ADB=135^\circ;\,\, 2^\circ \ug ADB=45^\circ]$}
\end{zad}




\begin{zad}
Na hipotenuzi $AB$ pravouglog trougla $\triangle ABC$ date su tačke $M$ i $N$ tako da je $AM=AC,$ $BN=BC$ i poredak $A-N-M-B.$ Izračunati ugao $\measuredangle MCN.$
\hfill{$[\ug NCM=45^\circ]$}
\end{zad}



%%{\includegraphics[scale=0.7]{02}}
{\includegraphics[scale=1]{05}}


\begin{zad}
Dat je jednakokraki trougao $\triangle ABC$ ($AC=BC$). Na kraku $AC$ odabrane su dvije ta\v cke $M$ i $N$ tako da je $\measuredangle ABM \cong \measuredangle CBN$ i $MN\cong MB$, pri \v cemu je ta\v cka $M$ bli\v za ta\v cki $A$ nego ta\v cka $N$. Koliki je ugao $\measuredangle ABN$?
\hfill{$[\ug ABN=60^\circ]$}
\end{zad}



\begin{zad}
Dat je jednakokraki trougao $\triangle ABC$ sa osnovicom $BC$ tako da je ugao $\measuredangle BAC > 50^\circ$. Na osnovici BC data je ta\v cka $M$ takva da je ugao $\measuredangle BAM=50^\circ$, a na kraku $AC$ ta\v cka $N$ takva da je $AM\cong AN$. Koliki je ugao $\measuredangle CMN$.
\hfill{$[\ug CMN=25^\circ]$}
\end{zad}


\begin{zad}
U o\v strouglom trouglu $\triangle ABC$ ($AC<BC$) visina $h_c=CC'$ i simetrala $s=p(C,M)$ ugla $\gamma$ zaklapaju ugao od $9^\circ$, a simetrale spolja\v snjih uglova kod tjemena $A$ i $B$ sijeku se pod uglom od $61^\circ$. Odrediti uglove $\triangle ABC$.
\hfill{$[\alpha=70^\circ,\beta=52^\circ,\gamma=58^\circ]$}
\end{zad}




\begin{zad}
Nacrtati trougao $\triangle ABC$, ($\beta > \alpha$) i visinu $h_c$ iz vrha $C$. Ta\v cku u kojoj visina $h_c$ iz vrha $C$ sije\v ce pravu $AB$ ozna\v cimo sa $E$. Produ\v zimo stranicu $BC$ preko vrha $C$, te konstrui\v si simetralu vanjskog ugla uz vrh $C$. Ta\v cku u kojoj simetrala sije\v ce pravu $p(A,B)$ ozna\v ci sa $D$. Ako je ${1\over 2}CD=CE$, odrediti koliko je $\beta-\alpha$.

\hfill{$[\beta-\alpha=60^\circ]$}
\end{zad}

%%{\includegraphics[scale=1]{03}}
{\includegraphics[scale=1]{06}}





\section{Ponavljanje gradiva iz EG I - Podudarnost trougla}







\begin{zad}
Na\' ci zbir $\alpha + \beta + \gamma + \delta + \eta$ uglova u tjemenima "petokrake zvijezde". (Zvijezda je nacrtana slobodno).
\end{zad}



\begin{zad}
U trouglu je jedna stranica podudarna dvostruko odgovaraju\' coj
visini. Dokazati da ugao naspram te stranice ne mo\v ze da bude
tup.
\end{zad}



\begin{zad}
Jedan ugao trougla dva puta je ve\' ci od drugog, dok 
te\v zi\v sna linija iz tjemena tre\' ceg ugla dijeli taj ugao na
dva dijela od kojih je jedan dva puta ve\' ci od drugog. Na\' ci
uglove trougla.
\end{zad}


\begin{zad}
Dokazati da se simetrale stranica trougla sijeku u jednoj 
ta\v cki $S$ ($S$ je centar opisane kru\v znice trougla).
\end{zad}


{\includegraphics[scale=1]{07}}


\begin{zad}
Neka je $\triangle ABC$ o\v strougli trougao sa centrom opisane 
kru\v znice u ta\v cki $S$. Ta\v cka $P\in BC$ je
ortogonalna
projekcija ta\v cke $A$. Pretpostavimo da je 
$\measuredangle BCA \geq \measuredangle ABC + 30^\circ$. 
Dokazati da je
$\measuredangle CAB + \measuredangle CSP < 
90^\circ$.
\end{zad}


\begin{zad}
Na bo\v cnim stranicama $AC$ i $BC$ jednakokrakog trougla 
$\triangle ABC$ date su ta\v cke $M$ i $N$ redom, tako da je 
$CM+CN \cong AC$ ($M$ i $N$ nisu sredine stranica). Dokazati da je
prava odre\dj ena sredinama bo\v cnih stranica trougla incidentna
sa sredinom du\v zi $MN$.
\end{zad}



\begin{zad}
Kroz ta\v cku $M$-sredinu osnovice $AB$ jednakokrakog trougla
$\triangle ABC$ prolazi prava koja sije\v ce prave $p(A,C)$
i $p(B,C)$ u ta\v ckama $P$ i $Q$ redom, tako da je $(P-M-Q)$.
Dokazati da je $PQ>AB$.
\end{zad}



\begin{zad}
Dokazati da se visine trougla sijeku u jednoj ta\v cki $H$
($H$ zovemo ortocentar trougla).
\end{zad}





\begin{zad}
Unutar $\triangle ABC$ uzeta je ta\v cka $M$ takva da je 
$\measuredangle MBA=30^\circ$, $\measuredangle MAB=10^\circ$.
Odrediti ugao $\measuredangle AMC$, ako je 
$\measuredangle ACB=80^\circ$ i $AC\cong BC$.
\end{zad}


\begin{zad}
Odrediti uglove trougla kod kojeg je centar opisane kru\v znice
simetri\v can centru upisane kru\v znice u odnosu na jednu od
njegovih stranica.
\end{zad}



{\includegraphics[scale=1]{08}}




\begin{zad}
U unutra\v snjosti kvadrata $\square ABCD$ data je ta\v cka $E$
takva da je $\triangle CDE$ jednakokraki sa uglovima kod $C$ i 
$D$ od $15^\circ$. Dokazati da je $\triangle ABE$ 
jednakostrani\v can.
\end{zad}


\begin{zad}
Du\v z koja spaja sredine dvije susjedne stranice trougla se zove
srednja linija trougla. Neka su $P$ i $Q$ redom sredine stranica
$AB$ i $AC$ trougla $\triangle ABC$. Dokazati da je 
$PQ={1\over 2}BC$ i da je $p(P,Q)||p(B,C)$.
\end{zad}



\begin{zad}
Iz jednog tjemena o\v strouglog trougla konstruisana je visina,
iz drugog simetrala ugla a iz tre\' ceg te\v zi\v sna du\v z.
Dokazati da trougao kojeg obrazuju njihove presje\v cne ta\v cke
ne mo\v ze biti jednakostrani\v can.
\end{zad}


\begin{zad}
Dijagonala $AC$ konveksnog \v cetverougla $\square ABCD$ polovi
njegov obim, a njena sredina pripada dijagonali BD. Dokazati da je
$AB \cong CD$ i $AD \cong BC$.
\end{zad}





\hvFloat[%
onlyText=true,%
floatPos=htb,%
capWidth=1.0,% of \columnwidth
capPos=r,%
capVPos=c,%
objectPos=l]%
{}%
{\includegraphics[scale=0.8]{09}}%
[e]{{
\begin{zad}
U konveksnom \v cetverouglu $\square ABCD$ rastojanja tjemena $A$
i $B$ od tjemena $CD$ su podudarna, a pored toga je $AC+CB \cong
AD + DB$. Dokazati da je $AD \cong BC$ i $AC \cong BD$.
\end{zad}
\begin{zad}
Dokazati da ve\' coj visini odgovara manja stranica i obrnuto.
\end{zad}
}}{fig:text}








\begin{zad}
Kroz ta\v cku $M$ koja le\v zi na osnovici $AB$ jednakokrakog 
$\triangle ABC$ prolazi prava koja sije\v ce prave $p(A,C)$
i $p(B,C)$ u ta\v ckama $P$ i $Q$ redom, tako da je $M$ sredina
du\v zi $PQ$. Dokazati da je $AP\cong BQ$.
\end{zad}




\begin{zad}
U trouglu $\triangle ABC$ je upisana kru\v znica sa centrom u $I$.
Dokazati da se centar opisane kru\v znice oko trougla 
$\triangle BCI$ nalazi na presjeku poluprave $pp[A,I)$ i 
kru\v znice koja je opisana oko trougla $\triangle ABC$.
\end{zad}




\begin{zad}
Neka je $I$ centar upisane kru\v znice trougla $\triangle ABC$.
U unutra\v snjosti $\triangle ABC$ data je ta\v cka $P$ takva da
je
$\measuredangle PBA + \measuredangle PCA = \measuredangle PBC
+ \measuredangle PCB $.
Dokazati da je $AP \geq AI$, te da jednakost vrijedi ako i samo 
ako se ta\v cka $P$ podudara sa ta\v ckom $I$.\\
\end{zad}








\end{document}