\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=17mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae, arcs}
\usepackage{esint, hvfloat, multicol}
\usepackage[croatian, english]{babel}



\def\cm{{\mbox{\rm cm}}}


\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {2.4mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {2.5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  

 

%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\def\ug{{{\measuredangle}}}
\def\tr{{{\triangle}}}


\setlength{\textheight}{262mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}


\raggedright



\renewcommand{\thesection}{}

\section{15 Elementarni zadaci: Razni zadaci iz ravni i prostora.}












\begin{zad}
Dat je trougao $\triangle ABC$ u kome su poznate dvije visine $AA'=h_a,$ $CC'=h_c$ i teži\v snica $CC_1=t_c.$
Na stranici $BC$ data je tačka $D$ takva da 
$C_1D\bot BC$ i $C_1D={1\over 2}AA'.$
Diskutovati da li se tačka $D$ može dobiti kao presjek dva kruga čiji se poluprečnici mogu izraziti preko $h_a,$ $h_c$ ili $t_c.$
\end{zad}





\begin{zad}
Dat je krug $k$ sa centrom u tački $S$ i prečnikom $AB$ ($A,B\in k$, $S\in AB$). Na krugu $k$ odrediti tačku $C$ tako da zbir duži $AC+BC$ bude najve\' ci. Odgovor obrazložiti.
\end{zad}




\begin{zad}
Zadani su ugao $\measuredangle ACB$, poluprava $CM$ unutar ugla $\measuredangle ACB$ i poluprava $CS$ koja polovi $\measuredangle ACB$. Dokazati da je $\measuredangle SCM={1 \over 2}(\measuredangle MCA -\measuredangle MCB)$.
\end{zad}





\begin{zad}
Ako su kraci trapeza me\dj usobno normalni, dokazati da je zbir kvadrata osnovica jednak zbiru kvadrata dijagonala.
\end{zad}





\begin{zad}
U trouglu $\triangle ABC$ je $AC=BC$, a visina $AD$ sa simetralom  $AE$ ($E\in BC$) ugla $\measuredangle DAC$ gradi ugao od $30^\circ$. Na\' ci uglove trougla $\triangle ABC$ i dokazati da je $AE=EC$.
\end{zad}



\begin{zad}
Na kraku $x$ ugla $\measuredangle xOy$ data je tačka $A$. Konstruisati na kraku $y$ tačku $B$, tako da je $\measuredangle OAB= 3 \measuredangle OBA$.
\end{zad}














\section{Razni zadaci sa ispitnih rokova.}




\begin{zad}
Konstruisati krug koji prolazi kroz datu tačku i dodiruje dva data kruga.
\end{zad}





\hvFloat[%
onlyText=true,%
floatPos=htb,%
capWidth=1.0,% of \columnwidth
capPos=l,%
capVPos=c,%
objectPos=r]%
{}%
{\includegraphics[scale=0.8]{krugovi_rj}}%
[e]{{
\begin{zad}
Dati je krug $k(O,r)$, tačka $A$ i prava $t$. Konstruisati krug $\bar{k}(\bar{O},\bar{r})$ koji prolazi kroz tačku $A$ i dodiruje krugove $k$ i pravu $t$ kao na skici. (Detaljno sprovesti samo Analizu. Konstrukciju, Dokaz i Diskusiju možete uraditi, ali bodovati će se samo Analiza.)
\end{zad}
}}%
{fig:text}\\


















\hvFloat[%
onlyText=true,%
floatPos=htb,%
capWidth=1.0,% of \columnwidth
capPos=l,%
capVPos=c,%
objectPos=r]%
{}%
{\includegraphics{krugovi_rj3}}%
[e]{{
\begin{zad}
Dati su krugovi $k_1(O_1, r_1)$ i $k_2(O_2,r_2)$,
($r_1<r_2$) i tačka $A$. Konstrisati krug $k$ koji \' ce prolaziti kroz tačku $A$ i dodirivati krugove $k_1$ i $k_2$ kao na skici.
\end{zad}
}}%
{fig:text}









\begin{zad}
Za $\triangle ABC$ vrijedi $2\measuredangle CBA=\measuredangle CAB+ \measuredangle ACB.$ U unutrašnjosti $\triangle ABC$ je odabrana tačka $P$ tako da vrijedi $\measuredangle APB=\measuredangle BPC= \measuredangle CPA.$ Dokazati da je $PB^2=PA\cdot PC.$
\end{zad}



\begin{zad}
Neka je dat trapez $\square ABCD$ sa osnovicama $AB$ i $CD,$ dat je krug $k(O,r)$ koji prolazi kroz tačke $A$ i $D$ i dodiruje pravu $p(B,C)$ u tački $F$. Na osnovici $AB$ data je tačka $M$ takva da je $\square AMCD$ paralelogram i $MC\perp BC.$ Ako je $\{E\}=p(B,C)\cap p(A,D)$ i $G$ sredina duži $AD$ dokazati da je $\square OFEG$ pravougaonik.
\end{zad}



\begin{zad}
Četverougao $\square ABCD$ je tetivni. Prava kroz tačku $D$ paralelna sa pravom $BC$ siječe dijagonalu $CA$ u tački $P,$ stranicu $AB$ u tački $Q$ i krug opisan oko četverougla $\square ABCD$ u tački $R.$ Prava u tački $D$ paralelna sa pravom $AB$ siječe pravu $BC$ u tački $T.$ Ako je $PQ\cong QR$ dokazati da vrijedi ${AB\over BC}={BT\over TD}.$
\end{zad}









\begin{zad}
Dati krugovi $k_1(O_1, r_1)$ i $k_2(O_2,r_2)$ se dodiruju u tački $A$. Neka su $p$ i $q$ dvije proizvoljne prave koje prolaze kroz tačku $A$ takve da $p\cap k_1=\{A,E\},$ $p\cap k_2=\{A,C\},$ $q\cap k_1=\{A,D\}$ i $q\cap k_2=\{A,B\}.$ Pokazati da je $BC\Vert DE.$
\end{zad}







\begin{zad}
Neka je $\square ABCD$ raznostraničan četverougao čije se dijagonale $d_1$ i $d_2$ sijeku pod pravim uglom. Polazeći isključivo od površine pravouglog trougla ($P={a\cdot b\over 2}$, $a$ i $b$ su katete) izvesti formulu za površinu $\displaystyle{ P={d_1\cdot d_2\over 2}}$ datog četverougla.
\end{zad}










\begin{zad}
Neka je $\triangle PQR$ dati raznostraničan trougao sa uglom $\varphi$ kod vrha $P$ ($\measuredangle QPR=\varphi$). Polazeći isključivo od površine pravouglog trougla ($P={a\cdot b\over 2}$, $a$ i $b$ su katete) i definicije trigonometriskih funkcija, izvesti formulu za površinu 
$\displaystyle{
P={r\cdot q\over 2}\, sin\varphi
}$ datog trougla.
\end{zad}







\begin{zad}
Visina iz vrha $A$ trougla $\triangle ABC$ presjeca stranicu $BC$ u tački $D.$ Krug koji dodiruje stranicu $BC$ u tački $D,$ presjeca stranicu $AB$ u tačkama $M$ i $N,$ a stranicu $AC$ u tačkama $P$ i $Q.$ Dokazati da vrijedi jednakost $AD^2+AM\cdot AN=AB(AM+AN).$
\end{zad}










\begin{zad}
Dat je raznostraničan trougao $\triangle ABC,$ i neka je $\triangle EFG$ trougao čija su tjemena podnožja simetrala unutrašnjih uglova trougla $\triangle ABC,$ gdje je $E\in AB.$ Dokazati da je 
$\displaystyle{
{BF\over FC}={AB\over AC}.
}$
\end{zad}







\begin{zad}
Raznostraničan trougao $\triangle ABC,$ ima dužine stranica $a,$ $b$ i $c.$ Neka je $\triangle EFG$ trougao čija su tjemena podnožja simetrala unutrašnjih uglova trougla $\triangle ABC,$ gdje je $E\in AB.$ Znamo da simetrala unutrašnjeg ugla u trouglu dijeli naspremnu stranicu u omjeru druge dvije stranice, pa imamo
$\displaystyle{
{AE\over BE}={AC\over BC}.
}$
Iskoristiti ovu jednakost i pokazati da je
$\displaystyle{
BE={ac\over a+b}.
}$
\end{zad}










\begin{zad}
Neka je $\triangle ABC$ raznostraničan trougao i neka je $\triangle EFG$ trougao čija su tjemena podnožja simetrala unutrašnjih uglova trougla $\triangle ABC,$ gdje je $E\in AB.$ Dokazati da 
$\displaystyle{
P_{\triangle AEG}=P_{\triangle ABC}\cdot{bc\over (a+b)(a+c)}.
}$
\end{zad}







\begin{zad}
Dat je četverougao $\square ABCD.$ Konstruisan je paralelogram $\square DBCM.$ Dokazati da je površina trougla $\triangle ACM$ jednaka površini datog četverougla $\square ABCD.$
\end{zad}











\begin{zad}
Tačka $A_1$ je presjek simetrale ugla $A$ i naspremne strane $BC$ trougla $\triangle ABC$. Dokazati da je $\displaystyle{\frac{A_1B}{A_1C}=\frac{AB}{AC}}$.
\end{zad}







\begin{zad}
Simetrala spoljašnjeg ugla kod tjemena $A$ trougla $\triangle ABC$ siječe pravu $BC$ u tački $A_2$. Dokazati da je $\displaystyle{\frac{A_2B}{A_2C}=\frac{AB}{AC}}$.
\end{zad}






\begin{zad}
Na stranicama $BC$, $CA$ i $AB$ trougla $\triangle ABC$ date su redom tačke $A_1$, $B_1$ i $C_1$, takve da je  $\displaystyle{\frac{BA_1}{A_1C}=\frac{CB_1}{B_1A}=\frac{AC_1}{C_1B}}$. Dokazati da je $\triangle A_1B_1C_1$ jednakostraničan ako i samo ako je $\triangle ABC$ jednakostraničan.
\end{zad}







\begin{zad}
Dat je romb $\square ABCD$. Pokazati da je $AC\bot BD$ i da su dijagonale ujedno i simetrale uglova.
\end{zad}






\begin{zad}
Duž $AC=a$ svojom unutrašnjom tačkom $B$ podjeljena je u odnosu $3:2$. Nad dužima $AB$ i $BC$, sa raznih strana u odnosu na duž $AC$, konstruisani su kvadrati $\square ABDE$ i $\square CBFG$. Neka su $O$ i $O_1$ presjeci dijagonala ovih kvadrata. U kojoj razmjeri stoje površina četverougla $\square OO_1CD$ i površina kvadrata kome je stranica duž $AC$?
\end{zad}







\begin{zad}
Dat je romb $\square ABCD$. Simetrale uglova između dijagonala sijeku stranice $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ romba, redom, u tačkama $M$, $N$, $P$ i $Q$. Pokazati da je četverougao $\square MNPQ$ kvadrat.
\end{zad}






\begin{zad}
Osnovne ivice kvadra (pravouglog paralelepipeda) odnose se kao $4:3$, dijagonale bočnih strana odnose se međusobno kao $\sqrt{20}:\sqrt{13}$ a površina dijagonalnog presjeka odnosi se prema zapremini (volumenu) kvadra kao $2:1$. Izračunati površinu i zapreminu ovog kvadra.
\end{zad}







\begin{zad}
Dat je romb $\square ABCD$ sa uglom $\measuredangle BAD=60^\circ$. Simetrale uglova između dijagonala sijeku stranice $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ romba, redom, u tačkama $M$, $N$, $P$ i $Q$. Ako znamo da je četverougao $\square MNPQ$ kvadrat pokazati da je $AM:MB=\sqrt{3}:1$
\end{zad}






\begin{zad}
Dat je romb $\square ABCD$ sa uglom $\measuredangle BAD=60^\circ$. Simetrale uglova između dijagonala sijeku stranice $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ romba, redom, u tačkama $M$, $N$, $P$ i $Q$. Ako znamo da je četverougao $\square MNPQ$ kvadrat i da je $AM:MB=\sqrt{3}:1$ naći razmjeru onih odsječaka veće i manje dijagonale romba, koji leži van četverougla $\square MNPQ$.
\end{zad}







\begin{zad}
Neka je $\tr ABC$ proizvoljan trougao i neka su tačke $D$, $E$ i $F$ takve da su trouglovi $\tr ADB$, $\tr BEC$, $\tr CFA$ pravilni (jednakostranični) i pri tome su tačke $D$ i $C$ sa raznih strana prave $p(A,B)$, tačke $A$ i $E$ su sa raznih strana prave $p(B,C)$, tačke $B$ i $F$ su sa raznih strana prave $p(A,C)$. Dokazati da su duži $AE$, $BF$ i $CD$ međusobno podudarne.
\end{zad}






%\begin{zad}
%Neka je $k(O,r)$ opisani krug oko $\tr ABC$. Pokazati da su projekcije proizvoljne tačke kruga na stranice trougla kolinearne.
%\end{zad}




%%\begin{zad}
%%Neka je $k(O,r)$ krug opisan oko trougla $\tr ABC$, i neka je $P$ proizvoljna tačka kruga. Neka su $L$, $M$ i $N$ projekcije od $P$ redom na $p(B,C)$, $p(C,A)$, $p(A,B)$. Dalje neka je $AK$ visina a $G$ ortocentar $\tr ABC$. Neka $p(A,K)$ siječe krug $k$ u tački $H$ i neka je $\{F\}=PH\cap BC$, $\{J\}=PH\cap LN$. Ako su $L$, $M$ i $N$ kolinearne pokazati da vrijedi $JL\cong JP\cong JF$.
%%\end{zad}
\end{document}