\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=18mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae, arcs}
\usepackage{esint, hvfloat, multicol}
\usepackage[croatian, english]{babel}



\def\cm{{\mbox{\rm cm}}}
\def\ce{{\square}}


\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {2.4mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {2.5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  

 

%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\def\ug{{{\measuredangle}}}
\def\tr{{{\triangle}}}


\setlength{\textheight}{262mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}


\raggedright



\renewcommand{\thesection}{}

\section{12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija}



\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}
{
Elementarna pitanja:


\hspace*{5mm}
1. Nabrojati sve geometriske figure prikazane na slici ispod.

[kocka, kvadar, četverostrana piramida, sfera (kugla), valjak (cilindar), konus (fišek, stožac), zarubljeni oktaedar, šesterostrana prizma, paralelopiped, dodekaedar, zarubljena šesterostrana piramida, zarubljeni konus (frustum), ikosaedar, oktaedar, koso zasječeni kvadar]
}}


\includegraphics{geoFigure}

\includegraphics{geoFigure2}




\begin{zad}
Dokazati da je povr\v sina pravouglog trougla jednaka proizvodu odsje\v caka $p$ i $q$ na koje u trouglu upisana kru\v znica dijeli hipotenuzu.
\end{zad}



\begin{zad}
Povr\v sina pravouglog trougla $\triangle ABC$ se ra\v cuna po formuli $P={a\cdot b\over 2}$, gdje su $a$ i $b$ katete trougla. Iskoristiti ovu formulu i pomo\' cu nje izvesti formulu za povr\v sinu $P={a\cdot h_a\over 2}$ proizvoljnog raznostrani\v cnog trougla ($h_a$ je visina spu\v stena na stranicu a). Izvesti formulu i za povr\v sinu jednakostrani\v cnog trougla u kojoj se kao promjenjiva pojavljuje samo stranica $a$.
\end{zad}








\begin{zad}
(Kosinusna teorema) Dat je raznostrani\v can trougao 
$\triangle ABC$ sa stranicama $a$, $b$, $c$ i uglom 
$\alpha = \measuredangle BAC$. Dokazati da je 
$a^2=b^2+c^2-2bc\,cos \alpha$.
\end{zad}



\begin{zad}
Neka je $\square ABCD$ paralelogram kod koga su $AB=a,$ $BC=b,$ $AC=p$ i $BD=q.$ Dokazati da vrijedi jednakost $p^2+q^2=2a^2+2b^2$ (uputa: iskoristiti kosinusnu teoremu).
\end{zad}











\section{Konstruktivni zadaci - Konstrukcija tačke.}











\begin{zad}
U unutra\v snjosti datog trougla odrediti ta\v cku iz koje se sve tri stranice trougla vide pod podudarnim uglovima.
\end{zad}




\begin{zad}
Dat je trougao $\triangle ABC$. Konstruisati ta\v cke dodira spolja upisanih kru\v znica sa stranicama trougla ne odre\dj uju\' ci centre i polupre\v cnike tih kru\v znica.
\end{zad}




\begin{zad}
Na datoj kru\v znici $k$ date su ta\v cke $A$ i $B$. Konstruisati ta\v cku $X$ kru\v znice $k$, tako da je $AX+BX=d$, gdje je d data du\v z.
\end{zad}





\begin{zad}
Na datoj kru\v znici $k$ date su ta\v cke $A$ i $B$. Konstruisati ta\v cku $X$ kru\v znice $k$, tako da je $AX-BX=d$, gdje je d data du\v z.
\end{zad}



\begin{zad}
Na osnovici datog jednakokrakog trougla konstruisati tačku čija je razlika rastojanja od krakova trougla jednaka datoj duži.
\end{zad}



\begin{zad}
Na pravoj određenoj ivicom $AB$ pravougaonika $\ce ABCD$ konstruisati tačku $E$ takvu da su uglovi $\ug AED$ i $\ug DEC$ podudarni.
\end{zad}




\section{Konstrukcija luka kruga.}




\begin{zad}
Konstruisati luk kru\v znice ($l$) \v ciji su krajevi date ta\v cke $A$ i $B$, i kome su periferiski uglovi jednaki datom uglu $\alpha$.
\end{zad}









\section{Zadaci za vježbu}



\begin{zad}
Na datoj kru\v znici konstruisati ta\v cku, tako za koju je razlika rastojanja dvije date prave jednaka datoj du\v zi.
\end{zad}







\section{Razni zadaci za vježbu (sa rješenjima) iz ravni i prostora}







\begin{zad}
Dat je krug $k_1(O_1,r_1)$ i u njegovoj unutra\v snjosti krug $k_2(O_2,r_2)$ takav da dodiruje krug $k_1$ u ta\v cki $P$. Dokazati da su ta\v cke $O_1$, $O_2$ i $P$ kolinearne.
\end{zad}





\begin{zad}
Na pravoj $p(A,B)$ trougla $\triangle ABC$ data je ta\v cka $M$
takva da je $A-B-M$ i $BM \cong BC$. Dokazati da je prava $p(M,C)$ paralelna simetrali ugla.
\end{zad}





\begin{zad}
U \v cetverougao $\square ABCD$ je $AB < BC < CD < AD$ i svake dvije susjedne stranice se razlikuju za $2\,cm$ (izuzev $AB$ i $AD$). Na\' ci povr\v sinu \v cetverougla, ako mu je obim $36\,cm$ i ako dijagonala $AC$ pripada simetrali ugla $\measuredangle BAD$.
\end{zad}




\begin{zad}
Date su dvije paralelne prave $a$ i $b,$ date su tačke  $A\in a,$ $B\in b$ i tačka $C$ koja se nalazi "između" pravih $a$ i $b.$ Ako je 
$\measuredangle CAa=30^\circ$ i 
$\measuredangle CBb=45^\circ$ izračunati ugao 
$\measuredangle ACB.$
\end{zad}





\begin{zad}
Neka je $k$ krug koji je opisan oko trougla $\triangle ABC$, $AB<AC$ i neka je ta\v cka $N$ sredi\v ste luka $AC$ (kojem pripada i ta\v cka $B$) kruga $k$. Dalje, neka je $M$ sredi\v ste du\v zi $AC$ i $P \not = N$ ta\v cka presjeka prave $p(N,M)$ i opisanog kruga. Dokazati da je $NP$ pre\v cnik opisanog kruga.
\end{zad}






\begin{zad}
U $\triangle ABC$ je upisan krug $k(I,r)$. Centar opisanog kruga $k''(M,r'')$ oko $\triangle BCI$ nalazi se na presjeku $pp[A,I]$ i kruga $k'(S,r')$ koji je opisan oko $\triangle ABC$. Spomenute krugove i trouglove nacrtati na proizvoljan na\v cin. Nakon toga krug $k$ preslikati osnom simetrijom s osom u pravoj $p(C,M)$ gdje je $M$ centar kruga $k''$.
\end{zad}





\begin{zad}
Jednakokraki trougao $\triangle ABC$ \v ciji je obim $O=64\,cm$, a visina na osovici $h_a=24\,cm$ rotirati oko vrha $B$ za ugao od $90^\circ$ u pozitivnom smjeru. Izra\v cunati povr\v sinu novonastalog rotiranog trougla.
\end{zad}




%%\begin{zad}
%%Jednakokraki trapez $\square ABCD$ sa osnovicom $AB=7\,cm$ rotirati oko ta\v cke $C$ za ugao od $120^\circ$ u pozitivnom smjeru.
%%\end{zad}



%%\begin{zad}
%%U pravilnu četverostranu piramidu upisana je kocka, čija jedna strana leži u osnovi piramide, a ivice njoj naspremne strane pripadaju bočnim stranama piramide (vidi sliku). Pokazati da je $\frac{PQ}{PV}=\frac{SQ}{SR}$.
%%\end{zad}


\begin{zad}
Poluprečnik baze (osnove) uspravnog valjka (cilindra) povećan je za $200\%$, a visina valjka je smanjena za $p\%$. Ako se zapremina tog valjka povećala za $p\%$, odrediti da li se površina omotača povećala ili smanjila i za koliko procenata.
\end{zad}



\begin{zad}
Zbir dužina prečnika baze i visine prave (uspravne) kupe je 18. Od svih takvih kupa odrediti površinu one koja ima najveću zapreminu.
\end{zad}


\begin{zad}
Jednakokraki trougao čiji je obim $O=64\,\cm$, a visina na osnovicu $h_a=24\cm$ rotira oko kraka $b$. Izračunati površinu i zapreminu tako nastalog rotacionog tijela.
\end{zad}



\begin{zad}
Data su dva jednaka pravougla jednakokraka trougl a $\triangle OAB$ i $\triangle OAC$ koji pripadaju dvjema međusobno okomitim ravnima. Neka su dužine hipotenuza $OB$ i $OC$ jednake $2a$. Sa $S$ ćemo označiti središte hipotenuze $OC,$ sa $H$ središte duži $OA,$ a sa $M$ proizvoljnu tačku duži $OB.$ Neka je $x$ dužina duži $OM.$ 


\hspace*{5mm}
($a$) Izraziti $SM^2$ kao funkciju od $a$ i $x$.


\hspace*{5mm}
($b$) U općem slučaju ravan ($SHM$) dijeli piramidu $OABC$ na dva dijela. Izraziti odnos zapremine piramide $SOHM$ i zapremine drugog dijela kao funkciju od $a$ i $x$.
\end{zad}







\end{document}