\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=18mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae, arcs}
\usepackage{esint, hvfloat, multicol}
\usepackage[croatian, english]{babel}



\def\cm{{\mbox{\rm cm}}}
\def\kv{{{\square}}}

\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {2.4mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {2.5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  

 

%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\def\ug{{{\measuredangle}}}
\def\tr{{{\triangle}}}


\setlength{\textheight}{262mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}


\raggedright



\renewcommand{\thesection}{}

\section{10 Elementarni zadaci: Sličnost traouglova i Talesova teorema}



\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}
{
Elementarna pitanja:


\hspace*{5mm}
1. Talesova teorema glasi: Neka su... (vidi sliku)... Ako su $a$ i $a'$ dvije me\dj usobno paralelne prave tada vrijedi 
$\displaystyle
{SP\over SP'}={\square \over \square}=
{PQ \over \square}.$

\vspace*{2mm}
{\centerline{\includegraphics{pit03}}}
\vspace*{2mm}

\hspace*{5mm}
2. Poljedica talesove teoreme: 
$\displaystyle
{SP\over SQ}={\square \over \square},$
$\displaystyle
{SP'\over PP'}={\square \over \square},$
$\displaystyle
{SP\over PP'}={\square \over \square}$ i 
$\displaystyle
{SP'\over P'Q'}={\square \over \square}$.


\hspace*{5mm}
3. Obrat Talesove teoreme glasi: 
$\displaystyle
{SP\over SP'}={\square \over \square}=
{PQ \over \square}$
$\Rightarrow$ $a\Vert a'.$
}}








\begin{zad}
Neka su dati krugovi $k_1(O_1,r_1)$, $k_2(O_2,r_2)$ i $k_3(O_3, r_3)$ takvi da $k_1$ dodiruje krug $k_2$ u ta\v cki $P$, $k_2$ dodiruje krug $k_3$ u ta\v cki $Q$, a $k_1$ i $k_3$ nemaju zajedni\v ckih ta\v cki. Na pravoj $p(O_1,O_3)$ date su ta\v cke $M$ i $N$ takve da $M\in k_1$, $N\in k_3$ i va\v zi poredak $M-O_1-O_3-N$. Neka je $\{ T \}=p(O_1,O_3)\cap p(P,Q)$. Dokazati da su trouglovi $\triangle TNQ$ i $\triangle TPM$ sli\v cni.
\end{zad}




\begin{zad}
Neka je $I$ centar upisanog kruga $\triangle ABC$ ($AB<BC$), ta\v cka $S$ centar opisanog kruga $k$ oko trougla $\triangle ABC$, $M$ sredina stranice $AC$ i neka je ta\v cka $P$ na luku $AC$ (kojem ne pripada ta\v cka $B$) kruga $k$ takva da je $\triangle PAI$ jkk, da va\v zi poredak $P-M-S$ i da je $PM\perp AC$. Ako je ta\v cka $N$ presje\v cna ta\v cka poluprave $pp[P,S)$ i kruga $k$ dokazati da je $\triangle AMP\sim \triangle NAP$ i da je $\triangle PIN \sim \triangle PMI$
\end{zad}




\begin{zad}
Neka su dati krugovi $k_1(O_1,r_1)$, $k_2(O_2,r_2)$ i $k_3(O_3, r_3)$ takvi da $k_1$ dodiruje krug $k_2$ u ta\v cki $P$, $k_2$ dodiruje krug $k_3$ u ta\v cki $Q$, a $k_1$ i $k_2$ nemaju zajedni\v ckih ta\v cki. Na pravoj $p(O_1,O_2)$ date su ta\v cke $M$ i $N$ takve da $M\in k_1$, $N\in k_3$ i va\v zi poredak $M-O_1-O_3-N$. Neka je $\{ T \}=p(O_1,O_2)\cap p(P,Q)$. Dokazati da su trouglovi $\triangle TNQ$ i $\triangle TPM$ sli\v cni.
\end{zad}



\begin{zad}
U pravouglom trouglu $\triangle ABC$, $a$ i $b$ su 
kraci a $c$ je hipotenuza ($BC=a$, $AC=b$, $AB=c$). Dokazati da je $a^2+b^2=c^2$.
\end{zad}









\begin{zad}
Dat je trougao $\triangle ABC$ u kome su poznate dvije visine $AA'=h_a,$ $CC'=h_c$ i te\v zi\v snica $CC_1=t_c.$ Ako je data tačka $D$ na duži $BA'$ takva da $C_1D\bot BC$ dokazati da je $C_1D={1\over2}h_a.$ Tvrdnju dokazati bez primjene teoreme o srednjoj liniji trougla.
\end{zad}



\begin{zad}
Neka je $\square ABCD$ paralelogram. Na polupravoj $DB$ uzeta je ta\v cka $E$ tako da je poluprava AB simetrala ugla $\measuredangle CAE.$ Neka je $F$ ta\v cka presjeka pravih $CE$ i $AB.$ Dokazati da je ${EC\over EF}={AB\over BF}.$
\end{zad}

















\section{Konstruktivni zadaci - Konstrukcija četverougla.}






\begin{zad}
Konstruisati kvadrat ako je dato jedno tjeme i po jedna ta\v cka na stranicama koje ne sadr\v ze to tjeme.
\end{zad}


\begin{zad}
Date su ta\v cke $A$, $M$ i $N$. Konstruisati paralelogram $\square ABCD$, tako da je $M$ sredina stranice $BC$, a $N$ sredina stranice $CD$.
\end{zad}


\begin{zad}
Konstruisati kvadrat ako dat njegov centar opisane kru\v znice i dvije ta\v cke koje pripadaju nekim od njegovih stranica.
\end{zad}




\begin{zad}
U dati kvadrat upisati drugi kvadrat tako da mu du\v zine stranica odgovaraju veli\v cini neke date du\v zi.
\end{zad}




\begin{zad}
Date su tri ta\v cke. Konstruisati paralelogram, tako da se sredine tri njegove stranice poklapaju sa datim ta\v ckama.
\end{zad}





\begin{zad}
Dat je krug $k(I,r)$ i date su dvije tačke u unutrašnjoj oblasti kruga. U dati krug upisati pravougaonik čije stranice prolaze kroz dvije date tačke. Analizirati oba slučaja: kada date tačke pripadaju naspremnim stranicama i kada date tačke pripadaju susjednim stranicama.
\end{zad}





\begin{zad}
Konstruisati paralelogram čija će površina biti jednaka površini datog trougla.
\end{zad}



\begin{zad}
Konstruisati paralelogram čija će površina i obim biti jednaki površini i obimu datog trougla.
\end{zad}


\begin{zad}
Konstruisati kvadrat $\kv ABCD$ takav da date tačke $P$, $Q$, $R$ i $S$ pripadaju redom stranicama $AB$, $BC$, $CD$ i $DA$.

Napomena: U rješavanju zadatka možda ćete naći korisno da iskoristite teoremu: Presječna tačka simetrale ivice $BC$ i simetrale unutrašnjeg ugla $\ug BAC$ trougla $\tr ABC$ pripada opisanom krugu oko tog trougla.
\end{zad}
















\section{Zadaci za vježbu}





\begin{zad}
U dati kvadrat upisati drugi kvadrat, tako da prava odre\dj ena jednom stranicom toga kvadrata prolazi kroz datu ta\v cku.
\end{zad}



\begin{zad}
Konstruisati kvadrat ako je data po jedna ta\v cka na svakoj od njegovih stranica ili na njihovim produ\v zecima.
\end{zad}







\begin{zad}
Date su tri konkurentne prave i na jednoj od njih ta\v cka $A$. Konstruisati trougao $\triangle ABC$, tako da njegove visine le\v ze na datim pravama.
\end{zad}




\begin{zad}
Date su tri konkurentne prave i na jednoj od njih ta\v cka $A$. Konstruisati trougao $\triangle ABC$, tako da njegove simetrale uglova le\v ze na datim pravama.
\end{zad}



\begin{zad}
"Prevesti" nazive figura datih na slici ispod.
\vspace*{2mm}
{\centerline{\includegraphics{DioTabele1}}}
{\centerline{\includegraphics{DioTabele3}}}
\end{zad}


\end{document}