\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=18mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae, arcs}
\usepackage{esint, hvfloat, multicol}
\usepackage[croatian, english]{babel}



\def\cm{{\mbox{\rm cm}}}


\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {2.4mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {2.5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  

 

%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\def\ug{{{\measuredangle}}}
\def\tr{{{\triangle}}}


\setlength{\textheight}{262mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}


\raggedright



\renewcommand{\thesection}{}

\section{9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar}



\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}
{
Elementarna pitanja:


\hspace*{5mm}
1. Kako glasi formula za računanje površine prizme?

\hspace*{5mm}
2. Kako glasi formula za računanje zapremine prizme?
\hfill{[$V=B\cdot H$]}


\hspace*{5mm}
3. Kako glasi formula za računanje zapremine kvadra?
}}






\begin{zad}
U trostranu prizmu, čija je osnova pravougli jednakokraki trougao, može se upisati lopta poluprečnika $2\cm$ koja dodiruje sve strane prizme. Kolika je zapremina te prizme?
\end{zad}




\begin{zad}
Osnova prizme je romb. Omotač prizme je $2400\cm^2$. Jedna dijagonala romba je $40\cm$, a rastojanje naspram bočnih strana prizme jednako je visini prizme. Kolika je zapremina prizme?
\end{zad}



\begin{zad}
Baza uspravne prizme je jednakokraki trougao osnovice $a$ i ugla pri vrhu $120^\circ$. Kolika je zapremina prizme (u funkciji od $a$) ako je površina omotača dva puta veća od površine baze?
\end{zad}


\begin{zad}
Baza (osnova) pravilne četverostrane prizme je kvadrat stranice $a$ ($\cm$). Ravan koja sadrži jednu ivicu baze i nagnuta je prema ravni baze pod uglom od $30^\circ$, dijeli zapreminu date prizme u razmjeri $2:3$. Kolika je visina prizme?
\end{zad}




\begin{zad}
Dijagonala kvadra ima dužinu $d = 2\sqrt{2}$. Njen nagib prema jednoj bočnoj strani iznosi $30^\circ$, a prema drugoj bočnoj strani $45^\circ$. Kolika je zapremina ovog kvadra?
\end{zad}












\section{Konstruktivni zadaci - Konstrukcija trougla.}




\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}{
\hspace*{5mm}
Svaki konstruktivni zadatak ima \v cetri dijela:

\hspace*{5mm}
1. Analiza

\hspace*{5mm}
2. Konstrukcija

\hspace*{5mm}
3. Dokaz

\hspace*{5mm}
4. Diskusija (determinizacija)


\hspace*{5mm}
U analizi pretpostavimo da je zadatak rije\v sen, i na osnovu slike (skice) rje\v senja, logi\v ckim razmi\v sljanjem (i po potrebi dodavanjem nekih novih elemenata skici, kao \v sto su ta\v cka, prava i sli\v cno), dolazimo do ideje \v sta mo\v zemo konstruisati od datih elemenata u zadatku. U analizi ne obja\v snjavamo kako se \v sta mo\v ze konstruisati, nego samo konstatujemo \v sta se mo\v ze konstruisati i na osnovu \v cega.


\hspace*{5mm}U konstrukciji pravimo niz od jasnih i nedvosmislenih koraka \v sta i kojim redom trebamo konstruisati da bismo od datih elemenata u zadatku do\v sli do rje\v senja. Konstrukciju mo\v zemo tuma\v citi i kao Algoritam u kome su ulaz dati elementi zadatka a izlaz rje\v senje zadatka.


\hspace*{5mm}U dokazu dokazujemo one tvrdnje na koje smo se pozvali u Analizi a koje nismo tamo dokazali. Generalno u dokazu treba da se nalazi re\v cenica \v sta se treba dokazati, i dati dokaz toga.


\hspace*{5mm}U diskusiji (determinizaciji) razmatramo broj rje\v senja u odnosu na polo\v zaj datih elemenata.
}}








\begin{zad}
Konstruisati trougao $\triangle ABC$ ako su dati uglovi 
$\alpha$, $\beta$ i njegov obim.
\end{zad}




\begin{zad}
Konstruisati trougao $\triangle ABC$ ako su date ta\v cke 
$P$, $Q$ i $R$ koje su podno\v zja visina datog trougla.
\end{zad}






\begin{zad}
Konstruisati trougao $\triangle ABC$ ako su mu dati stranica
$a$, ugao $\beta$ i du\v z $b-c$.
\end{zad}




\begin{zad}
Konstruisati trougao $\triangle ABC$ ako su mu dati visine
$h_a$ i $h_c$, i te\v zi\v sna linija $t_a$.
\end{zad}





\begin{zad}
Konstruisati trougao $\triangle ABC$ ako su mu dati stranica
$a$, te\v zi\v snica $t_a$ i visina $h_a$.
\end{zad}





\begin{zad}
Konstruisati trougao $\triangle ABC$ ako su mu dati stranica
$c$, du\v z $a-b$ i ugao $\alpha -\beta$.
\end{zad}





\begin{zad}
Konstruisati trougao $\triangle ABC$ ako su mu dati stranica
$a$, visina $h_a$ i ugao $\alpha$.
\end{zad}





\begin{zad}
Konstruisati trougao $\triangle ABC$ ako je dato $AM=t_a$ i 
polupre\v cnici $R_1$ i $R_2$ kru\v znica opisanih oko trouglova $\triangle ABM$ i $\triangle ACM$.
\end{zad}


\begin{zad}
Konstruisati raznostrani\v cni trougao $\triangle ABC$ ako su pozati stranica $b$, visina $h_c$ (koja odgovara stranici c) i zbir $a+c$.
\end{zad}




\begin{zad}
Date su tri konkurentne prave i na jednoj od njih ta\v cka $A$.
Konstruisati trougao $\triangle ABC$, tako da njegove te\v zi\v sne linije
le\v ze na datim pravama.

\vspace*{3mm}
\textbf{Napomena.} \textit {Konkurentne prave} su prave koje 
prolaze kroz jednu ta\v cku.
\end{zad}


\begin{zad}
Konstruisati trougao $\triangle ABC$ ako su mu dati stranica $a$,
ugao $\alpha$ i polupre\v cnik kru\v znice $r$ upisane u taj trougao.
\end{zad}



\begin{zad}
Konstruisati trougao $\triangle ABC$ ako su mu dati stranica $a$,
du\v z $b+c$ i ugao $\beta - \gamma$.
\end{zad}




\begin{zad}
Konstruisati trougao $\triangle ABC$ ako su date tri ta\v cke $P$, $Q$ i $R$ koje su u odnosu na stranice trougla simetri\v cne centru opisane kru\v znice trougla.
\end{zad}




\begin{zad}
Konstruisati trougao $\triangle ABC$ ako su date tri ta\v cke $P$, $Q$ i $R$ koje su u odnosu na stranice trougla simetri\v cne ortocentru trougla.
\end{zad}




\section{Neki zadaci sa ispitnih rokova}





\begin{zad}
Konstruisati trougao $\triangle ABC$ ako su date stranice $a$ i $b$, i zna se da je $\alpha =3\beta$.\\
\end{zad}



\begin{zad}
Data je kru\v znica i u njenoj unutra\v snjosti ta\v cke $P$ i $Q$. Upisati u tu kru\v znicu pravougli trougao \v cija jedna kateta sadr\v zi ta\v cku $P$, a druga ta\v cku $Q$.
\end{zad}


\begin{zad}
Konstruisati trougao $\triangle ABC$ ako su dati visina $h_c$, te\v zi\v snica $t_c$ i polupre\v cnik opisane kru\v znice $R$.
\end{zad}




\begin{zad}
Konstruisati trougao $\triangle ABC$ ako su dati stranica $a$, ugao $\beta$ i polupre\v cnik upisane kru\v znice $r$.
\end{zad}





\begin{zad}
Konstruisati trougao $\triangle ABC$ ako su date ta\v cke $P$, $Q$ i $R$ u kojima visina, simetrala ugla i te\v zi\v sna linija iz tjemena $C$ sijeku kru\v znicu opisanu oko trougla.
\end{zad}







\begin{zad}
Date su paralelne prave $a$ i $b,$ tačka $M$ između njih i prava $c$ koja nije paralelna ni sa $a,$ ni sa $b.$ Konstruisati jednakokraki trougao $\triangle MAB,$ sa osnovicom $AB,$ tako da $A\in a,$ $B\in b$ i $p(A,B)\Vert c.$
\end{zad}



\begin{zad}
Konstruisati trougao $\tr ABC$ takav da su mu težišne duži podudarne trima datim dužima.
\end{zad}



\begin{zad}
Konstruisati trougao $\tr ABC$ takav da su mu tri date nekolinearne tačke $S_a$, $S_b$ i $S_c$ centri spolja upisanih krugova.
\end{zad}
















\section{Zadaci za vježbu}





\begin{zad}
Konstruisati trougao ako je dato:\\
\hspace*{8mm}(a) $h_a$, $2p$, $r$; ($p$ je poluobim trougla, $r$ polupre\v cnik upisane kru\v znice)\\
\hspace*{8mm}(b) $\alpha$, $r_a$, $b+c-a$;\\
\hspace*{8mm}(c) $2p$, $r$, $r_a$; ($r_a$ je polupre\v cnik spolja upisane kru\v znice koja dodiruje stranicu $a$ i prave koje sadr\v ze stranice $b$ i $c$);\\
\hspace*{8mm}(d) $a$, $r$, $r_a$;\\
\hspace*{8mm}(e) $r$, $r_a$, $b-c$;\\
\hspace*{8mm}(f) $r_b$, $r_c$, $\beta - \gamma$;\\
\hspace*{8mm}(g) $a$, $r_b$, $r_c$;\\
\hspace*{8mm}(h) $r_b$, $r_c$, $b+c$; \hspace*{8mm}(i) $c$, $r$, $r_c$;\\
\hspace*{8mm}(j) $c$, $\gamma$, $\alpha - \beta$; \hspace*{8mm}(k) $h_c$, $t_c$, $\alpha - \beta$;
\end{zad}







\begin{zad}
Konstruisati trougao ako su dati elementi:\\
\hspace*{8mm}(a) $b-c$, $r$, $\beta - \gamma$;\\
\hspace*{8mm}(b) $a$, $r$, $b-c$;
\end{zad}



\end{document}