\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=18mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae, arcs}
\usepackage{esint, hvfloat, multicol}
\usepackage[croatian, english]{babel}



\def\cm{{\mbox{\rm cm}}}


\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {2.4mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {2.5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  

 

%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\def\ug{{{\measuredangle}}}
\def\tr{{{\triangle}}}


\setlength{\textheight}{262mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}


\raggedright



\renewcommand{\thesection}{}

\section{8 Elementarni zadaci: Crtanje duži datog omjera}



\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}
{
Elementarna pitanja:


\hspace*{5mm}
1. Za dva trougla ka\v zemo da su sli\v cna akko... Nabrojati \v cetri stava o sli\v cnosti trouglova! O \v cemu moramo voditi ra\v cuna kada se pozivamo na sli\v cnost SSU?

\hspace*{5mm}
2. Kako glasi tre\' ci potreban i dovoljan uslov da bi \v cetverougao bio tetivni ($AS\cdot CS=...$, gdje je $S$...).


\hspace*{5mm}
3. Ugao izme\dj u tangente i tetive jednak je periferiskom... Kako bi to dokazali?
}}






\begin{zad}
Date su duži $a$ i $b$ ($b<1<a$). Nacrtati duž $x$ ako je $\displaystyle{ x\sqrt{b}={{\sqrt{a\sqrt{3}}}\over{\sqrt{2}}}+a^2 }$.
\end{zad}




\begin{zad}
Date su du\v zi $a$ i $b$. Nacrtati du\v z $x$ ako je $\displaystyle{ x\sqrt {2}+1={   {{\sqrt {3a}} -a^2} \over \sqrt {b}}},$ gdje je $a<1<b$.
\end{zad}



\begin{zad}
Nacrtati du\v z $\displaystyle{ x={{\sqrt{3}+ab}\over{\sqrt{ab}}}-1}$, gdje su $a$ i $b$ date du\v zi ($a<1<b$).
\end{zad}


\begin{zad}
Nacrtati du\v z $\displaystyle{ x={{\sqrt {ab}}+{\sqrt 2} \over ab}}$, gdje su $a$ i $b$ date du\v zi.
\end{zad}




\begin{zad}
Date su du\v zi $a$ i $b$. Nacrtati du\v z $x$ ako je $\displaystyle{ x\sqrt {2}={{\sqrt {3\sqrt {b}}}\over a}}$.
\end{zad}












\section{Sličnost trouglova i Talesova teorema (nastavak)}






%%\vspace*{5mm}
{\underline{\textbf {Trigonometrija}}}
\vspace*{3mm}



\begin{zad}\textbf{(Kosinusna teorema)}
Dat je raznostrani\v can trougao $\triangle ABC$ sa stranicama $a$, $b$, $c$ i uglom $\alpha=\measuredangle BAC$. Dokazati da je $a^2=b^2+c^2-2bc\, \cos\alpha$.
\end{zad}


\begin{zad}\textbf{(Sinusna teorema)}
Dat je raznostra\v ni\v cni trougao $\triangle ABC$ sa stranicama $a$, $b$, $c$ i uglovima $\alpha=\measuredangle CAB$, $\beta=\measuredangle ABC$, $\gamma=\measuredangle BCA$. Dokazati da je $\displaystyle{\frac{\sin\,\alpha}{a}=\frac{\sin\,\beta}{b}=\frac{\sin\,\gamma}{c}}$.
\end{zad}


\begin{zad}
Dat je raznostrani\v can trougao $\triangle ABC$ sa stranicama $a$, $b$, $c$ i uglovima $\alpha=\measuredangle CAB$, $\beta=\measuredangle ABC$, $\gamma=\measuredangle BCA$. Dokazati da je $a=2R\,\sin\alpha$, $b=2R\,\sin\beta$ i $c=2R\,\sin\gamma$.
\end{zad}


\begin{zad}
\label{measuredangle CAB + measuredangle CSP < 90}
Neka je $\triangle ABC$ o\v strougli trougao sa centrom opisane kru\v znice u ta\v cki $S$. Ta\v cka $P\in BC$ je ortogonalna projekcija ta\v cke $A$. Pretpostavimo da je $\measuredangle BCA \geq \measuredangle ABC + 30^\circ$. Dokazati da je $\measuredangle CAB + \measuredangle CSP < 
90^\circ$.
\end{zad}


\begin{zad}
Neka je $AD$ visina trougla $\triangle ABC$ i $R$ polupre\v cnik opisane kru\v znice tog trougla. Neka su ta\v cke $E$ i $F$ podno\v zja normala iz ta\v cke $D$ na stranice $AB$ i $AC$. Ako je $AD=R\sqrt{2}$, dokazati da prava $EF$ prolazi kroz centar opisane kru\v znice.
\end{zad}






\vspace*{5mm}
{\underline{\textbf{Razni zadaci}}}
\vspace*{3mm}





\begin{zad}
$A_1$, $B_1$, $C_1$ i $D_1$ su ta\v cke koje su redom sredine stranica $BC$, $CD$, $AD$ i $AB$ kvadrata $\square ABCD$. Dokazati da se du\v zi $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ i $DD_1$ sijeku tako da obrazuju kvadrat sa stranicom jednakom $\displaystyle{\frac{2}{5}}$ du\v zine svake od tih du\v zi.
\end{zad}



\begin{zad}
U o\v strouglom trouglu $\triangle ABC$ je $CH:HC_1=3:1$, gdje je $H$ ortocentar a $C_1$ podno\v zje visine iz vrha $C$. Neka je $K$ sredina visine $CC_1$. Kokazati da je $\measuredangle AKB=90^\circ$.
\end{zad}



\begin{zad}
Date su kru\v znice $k_1$ i $k_2$ koje se sijeku u ta\v ckama $M$ i $N$ i imaju zajedni\v cku tangentu $p(A,B)$ ($A\in k_1$, $B\in k_2$). $M$ je ta\v cka na pravoj $p(C,D)$ ($C\in k_1$, $D\in k_2$) takva da je $C-M-D$ i $p(C,D)||p(A,B)$. Tetive $NA$ i $CM$ se sijeku u ta\v cki $P$, tetive $NB$ i $MD$ se sijeku u ta\v cki $Q$, a prave $p(A,C)$ i $p(B,D)$ se sijeku u ta\v cki $E$. Dokazati da je $PE\cong QE$.
\end{zad}


\begin{zad}
U trouglu $\triangle ABC$, $AP$ polovi ugao $\measuredangle BAC$, sa $P$ na $BC$, i du\v z $BQ$ polovi $\measuredangle ABC$ sa $Q$ na $CA$. Zna se da je $\measuredangle BAC=60^\circ$ i da je $AB+BP\cong AQ+QB$. Koje su mogu\' ce veli\v cine za uglove u trouglu $\triangle ABC$.
\end{zad}


\begin{zad}\textbf{(zadatak \ref{measuredangle CAB + measuredangle CSP < 90}, drugi put)}
Neka je $\triangle ABC$ o\v strougli trougao sa centrom opisane kru\v znice u ta\v cki $S$. Ta\v cka $P\in BC$ je ortogonalna projekcija ta\v cke $A$. Pretpostavimo da je $\measuredangle BCA \geq \measuredangle ABC + 30^\circ$. Dokazati da je $\measuredangle CAB + \measuredangle CSP < 90^\circ$.
\end{zad}


\begin{zad}\textbf {(Menelaus-ova teorema, drugi put)}
Neka su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ ta\v cke na stranicama $BC$, $CA$ i $AB$ trougla $\triangle ABC$ ili na njihovim produ\v zecima tako da dvije ta\v cke pripadaju stranici a jedna na produ\v zetku. Dokazati da su ta\v cke $A_1$, $B_1$ i $C_1$ kolinearne ako i samo ako vrijedi $\displaystyle{\frac{AC_1}{BC_1}\cdot\frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1}=1}$.
\end{zad}


\begin{zad}
Kroz tjemena $A$ i $B$ jednakostrani\v cnog trougla $\triangle ABC$ konstruisane su normale $n_1$ i $n_2$ na $AB$ u istoj poluravni u kojoj je ta\v cka $C$. Kroz tjeme $C$ konstruisana je prava koja sije\v ce $n_1$ u $M$ i $n_2$ u $N$. Simetrala du\v zi $MN$ sije\v ce pravu $AB$ u ta\v cki $S$.\\ 
\hspace*{10mm}($a$) Dokazati da je $\triangle MSN$jednakostraničan.\\
\hspace*{10mm}($b$) Površinu trougla $\triangle MSN$ izraziti kao funkciju du\v zine stranice $\triangle ABC$ i ugla $\measuredangle ACS$.
\end{zad}


\begin{zad}
U kru\v znicu je upisan trougao $\triangle ABC$. Ta\v cke $M$, $N$ i $P$ su sredi\v sta lukova $BC$, $CA$ i $AB$. Ta\v cka $M$ se nalazi sa one strane prave $BC$ sa koje nije ta\v cka $A$, ta\v cka $N$ se nalazi sa one strane prave $AC$ sa koje nije ta\v cka $B$ i ta\v cka $P$ se nalazi sa one strane prave AB sa koje nije ta\v cka $C$. Tetiva $MN$ sije\v ce stranicu $BC$ i ta\v cki $K$, a $NP$ sije\v ce stranicu $AB$ u ta\v cki $L$. Dokazati da je $KL||AC$.
\end{zad}


\begin{zad}\textbf{(Teorema Čevija)}
Neka ta\v cke $A_1$, $B_1$ i $C_1$ pripadaju stranicama $BC$, $AC$ i $AB$ trougla $\triangle ABC$ redom. Dokazati da se du\v zi $AA_1$, $BB_1$ i $CC_1$ sijeku u istoj ta\v cki ako i samo ako vrijedi $\displaystyle{\frac{AC_1}{BC_1}\cdot\frac{BA_1}{CA_1}\cdot\frac{CB_1}{AB_1}=1}$.
\end{zad}


\begin{zad}
Dokazati da se\\ 
\hspace*{10mm}($a$) te\v zi\v snice\\ 
\hspace*{10mm}($b$) visine\\ 
\hspace*{10mm}($c$) simetrale uglova\\ 
trougla sijeku u istoj ta\v cki.
\end{zad}


\begin{zad}
Neka su $p(A,A_1)$, $p(B,B_1)$ i $p(C,C_1)$ tri prave trougla $\triangle ABC$ koje se sijeku u $R$. Dokazati da vrijedi $\displaystyle{\frac{RA_1}{AA_1} + \frac{RB_1}{BB_1} + \frac{RC_1}{CC_1}=1}$.
\end{zad}


\begin{zad}
Dokazati da je rastojanje vrha trougla od ortocentra dva puta ve\' ce od rastojanja centra opisane kru\v znice od stranice trougla naspram tog vrha.
\end{zad}


\begin{zad}\textbf{(Ojlerova prava)}
Dokazati da su ortocentar, te\v zi\v ste i centar opisane kru\v znice trougla kolinearne ta\v cke pri \v cemu te\v zi\v ste $T$ dijeli du\v z $HS$ u omjeru 2:1.\\
\hspace*{5mm}
\textbf{Napomena:} Prava kroz $H$, $T$ i $S$ se zove Ojlerova prava.
\end{zad}


\begin{zad}
Dokazati da sredine stranica, podno\v zja visina i sredine du\v zi koje spajaju ortocentar sa tjemenima trougla pripadaju jednoj kru\v znici.\\
\hspace*{5mm}
\textbf{Napomena:} Kru\v znica koja prolazi kroz navedenih devet ta\v caka zove se Ojlerova kru\v znica ili Kru\v znica devet ta\v caka.
\end{zad}


\begin{zad}
Dokazati da kru\v znica 9 ta\v caka ima centar na sredini du\v zi $SH$ ($S$ centar opisane kru\v znice, $H$ ortocentar trougla) a polupre\v cnik je du\v zine $\displaystyle{\frac{1}{2}}R$ ($R$ polupre\v cnik opisane kru\v znice).
\end{zad}


\begin{zad}
Dat je $\tr ABC$ u kome vrijedi da je $AB^2=BC^2+AC^2$. Bez upotrebe Pitagorine teoreme pokazati da je $\ug BCA$ prav ugao.
\end{zad}


\begin{zad}
Dat je četverougao $\square ABCD$ i neka je $p$ transferzala koja siječe prave $p(A,B)$, $p(A,D)$, $p(C,D)$, $p(B,C)$, $p(A,C)$, $p(B,D)$ redom u tačkama $E$, $F$, $G$, $H$, $I$, $J$. Pokazati da je 
$$
\frac{EF}{GH}=\frac{FI}{GI}\cdot \frac{EJ}{HJ}.
$$
\end{zad}


\end{document}