\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=18mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae, arcs}
\usepackage{esint, hvfloat, multicol}
\usepackage[croatian, english]{babel}



\def\cm{{\mbox{\rm cm}}}


\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {2.4mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {2.5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  

 

%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\def\ug{{{\measuredangle}}}
\def\tr{{{\triangle}}}


\setlength{\textheight}{262mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}


\raggedright



\renewcommand{\thesection}{}

\section{7 Elementarni zadaci: Kocka i piramida}



\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}
{
Elementarna pitanja:


\hspace*{5mm}
1. Kako glasi formula za računanje površine kocke?\hfill{[$6a^2$]}

\hspace*{5mm}
2. Kako glasi formula za računanje zapremine kocke?\hfill{[$a^3$]}


\hspace*{5mm}
3. Kako glasi formula za računanje površine piramide?\hfill{[$P_{omotaca}+P_{baze}$]}

\hspace*{5mm}
4. Kako glasi formula za računanje zapremine piramide?\hfill{[$\frac{1}{3}P_{baze}\cdot H$]}

\hspace*{5mm}
5. Kako glasi formula za računanje površine tetraedra?\hfill{[$4\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$]}


\hspace*{5mm}
6. Kako glasi formula za računanje zapremine tetraedra?\hfill{[$\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$]}
}}






\begin{zad}
Iz predmeta oblika kocke istesan je pravilan tetraedar tako da su ivice (bridovi) tetraedra ujedno dijagonale strana kocke. Odrediti:

\hspace*{5mm}
($a$) Koliko je puta smanjena površina tijela?

\hspace*{5mm}
($b$) Koliko je puta smanjena zapremina tijela?
\end{zad}



\begin{zad}
Data je kocka $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Tačke $M$ i $N$ su središta ivica $AB$ i $BC$. Kako se odnose:

\hspace*{5mm}
($a$) zapremine;

\hspace*{5mm}
($b$) površine;


kocke i piramide $MBNB_1$?
\end{zad}


\begin{zad}
Neka je $SABCD$ pravilna usparavna četverostran a piramida ($S$ - vrh piramide) čija je zapremina $V = 36\,\cm^3$. Ako je tačka $O$ centar osnove (baze) $ABCD$ date piramide, tačka $F$ središte ivice $CD$ i $\{E\}=AF\cap BD$, izračunati zaprennnu piramide $SOEFC$.
\end{zad}


\begin{zad}
Ivica jednakoivične četverostrane piramide $SABCD$ je $a$. Tačke $A_1,$ $B_1,$ $C_1,$ $D_1$ su središta bočnih ivica redom a tačka $O$ je podnožje visine piramide. Izračunaj površinu i zapreminu tijela $OA_1B_1C_1D_1S$.
\end{zad}


\begin{zad}
Ivice $AB,$ $AC$ i $AD$ trostrane uspravne piramide su međusobno normalne. Izračunati zapreminu piramide ako su površine strana $ABC,$ $ACD$ i $ADB$ redom jednake $12\,\cm^2,$ $16\,\cm^2$ i $24\,\cm^2$.
\end{zad}


\begin{zad}
Kocka ivice $a$ presječena je jednom ravni koja sadrži dijagonalu jedne strane kocke i središta dviju ivica suprotne strane. Izračunati površinu tog presjeka.
\end{zad}



\begin{zad}
Bočna strana pravilne trostrane piramide je nagnuta prema bazi piramide pod uglom od $60^\circ$. Težište baze je udaljeno od bočne strane $3\,\cm$. Naći površinu i zapreminu piramide.
\end{zad}





\section{Sličnost trouglova i Talesova teorema (nastavak)}



\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}
{
Neke posljedice stavova o sličnosti trouglova:


\centerline{\includegraphics{Poljedice_Talesove_teoreme}}
}}




\begin{zad}
U pravougaoniku $\square ABCD$ ta\v cka $M$ je sredina stranice $AD$, a $N$ je sredina strane $BC$. Neka je $\{Q\}=p(P,M)\cap p(A,C)$. Dokazati da je $\measuredangle QNM=\measuredangle MNP$, gdje je $P$ proizvoljna ta\v cka
na pravoj $p(C,D)$ takva da je $C-D-P$.
\end{zad}


\begin{zad}
U trougao $\triangle ABC$ upisan je paralelogram $\square ADEF$ tako da tjemena $D$, $E$ i $F$ le\v ze redom na stranicama $AB$, $BC$ i $CA$. Kroz sredi\v ste $A_1$ stranice $BC$ konstruisana je prava $AA_1$ koja sije\v ce pravu $EF$ u ta\v cki $G$. Dokazati da je \v cetverougao $\square BGFD$ paralelogram.
\end{zad}

%%\begin{zad}
%%U trouglu $\triangle ABC$ date su ta\v cke $B' \in AB$ i $C' \in AC$ takve da je $p(B',C')||p(B,C)$. Dokazati da su stranice $AB$ i $AC$ proporcionalne sa $AB'$ i $AC'$ redom. Dokazati i obrnuto, ako su date dvije ta\v cke $E\in AB$ i $F\in AC$ takve da je $\displaystyle{\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}}$ tada je $p(E,F)||p(B,C)$.
%%\end{zad}


\begin{zad}
Neka se prave $p$ i $q$ sijeku u ta\v cki $S$ i neka su $a$ i $a'$ dvije prave koje ne sadr\v ze ta\v cku $S$ i sijeku, redom prave $p$ i $q$ u ta\v ckama $P$, $Q$ i $P'$, $Q'$. Ako su $a$ i $a'$ dvije me\dj usobno paralelne prave dokazati da je $\displaystyle{\frac{SP}{SQ}=\frac{SP'}{SQ'}}$, $\displaystyle{\frac{SP'}{PP'}=\frac{SQ'}{QQ'}}$, $\displaystyle{\frac{SP}{PP'}=\frac{SQ}{QQ'}}$ i $\displaystyle{\frac{SP'}{P'Q'}=\frac{SP}{PQ}}$.
\end{zad}

\begin{zad}
Dat je konveksan \v cetverougao $\square ABCD$. Neka je $\{S\}=p(A,D)\cap p(B,C)$. Ako je $SA:SD=SB:SC$ i $\measuredangle BAD=80^\circ$ izra\v cunati $\measuredangle ADC$.
\end{zad}


\begin{zad}
Dat je trapez $\square ABCD$ kod koga se osnovice $AB$ i $CD$
odnose kao 2:1. Neka je $\{S\}=p(A,D)\cap p(B,C)$. Ako je $SD=3\,\cm$ izra\v cunati $AD$.
\end{zad}


\begin{zad}\textbf{(Menelaus-ova teorema)}
Neka je dat trougao $\triangle ABC$ i neka prava $p$ sije\v ce stranice trougla $AB$, $BC$ i $AC$ (po potrebi produ\v ziti stranice) redom u ta\v ckama $D$, $E$ i $F$. Tada je $\displaystyle{\frac{AD}{BD}\cdot\frac{BF}{CF}\cdot \frac{CE}{AE}=1}$. Dokazati.
\end{zad}



\begin{zad}
Neka je $AA_1$ simetrala ugla kod $A$ trougla $\triangle ABC$, a $I$ centar upisane kru\v znice. Dokazati da je $AI:IA_1=(AB+AC):BC$.
\end{zad}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%







\vspace*{5mm}
{\underline{\textbf {Konstrukcija duži i Homotetija}}}
\vspace*{3mm}


\begin{multicols}{2}
\begin{zad}
Date su du\v zi $a$ i $b$. Konstruisati du\v z $x=a\cdot b$.
\end{zad}

\begin{zad}
Data je du\v z $a$. Konstruisati du\v z $x=a^2$.
\end{zad}


\begin{zad}
Date su du\v zi $a$ i $b$. Konstruisati du\v z $x=a^2+b^2$.
\end{zad}


\begin{zad}
Date su du\v zi $a$ i $b$. konstruisati du\v z $x$ ako se zna da je $x:(b-a)=(2b-a):(b+a)$.
\end{zad}

\begin{zad}
Datu du\v z $a$ podjeliti u omjeru 2:3.
\end{zad}

\begin{zad}
Datu du\v z $b$ podjeliti u omjeru 1:3.
\end{zad}

\begin{zad}
Dati su trouglovi $\triangle ABC$ i $\triangle A'B'C'$ \v cije su odgovaraju\' ce stranice proporcionalne u omjeru 2:1.
Ako je $\measuredangle ABC=80^\circ$ izra\v cunati uglove $\measuredangle A'B'C'$ i $ \measuredangle B'A'C'$.
\end{zad}


\begin{zad}
Na stranicama $AB$ i $AC$ trougla $\triangle ABC$ uzete su ta\v cke $D$ i $E$ takve da je $AD:DB=AE:EC=2:3$. Ako je $P_{\triangle ADE}=2\, cm^2$ odrediti $P_{\triangle ABC}$.
\end{zad}


\begin{zad}
Na stranicama $AB$ i $AC$ trougla $\triangle ABC$ uzete su ta\v cke $D$ i $E$ takve da je $AD:DB=AE:EC=4:3$. Ako je $O_{\triangle ADE}=8\, cm$ odrediti $O_{\triangle ABC}$
\end{zad}
\end{multicols}




%%\vspace*{5mm}{\underline{\textbf {Homotetija}}}\vspace*{3mm}



\begin{multicols}{2}
\begin{zad}
Data je ta\v cka $A$ i du\v z $MN$. Du\v z $MN$ preslikati 
homoteti\v cno s centrom u ta\v cki $A$ i koeficijentom
\\ \hspace*{10mm}($a$) $k=2$
\\ \hspace*{10mm}($b$) $k=\displaystyle{-\frac{2}{3}}$
\end{zad}


\begin{zad}
Dat je trougao $\triangle ABC$ i ta\v cka $O$ u unutra\v snjosti trougla. Trougao preslikati homoteti\v cno sa centrom u ta\v cki $O$ i koeficijentom

\hspace*{10mm}($a$) $k=\displaystyle{\frac{2}{5}}$

\vspace*{1mm}
\hspace*{10mm}($b$) $k=\displaystyle{\frac{1}{3}}$

\hspace*{10mm}Ako je $P_{\triangle ABC}=56\, cm^2$ i 
$O_{\triangle ABC}=30\, cm$ izra\v cunati
$P$ i $O$ novodobijenog trougla.
\end{zad}


\begin{zad}
Data je kru\v znica $k$ i ta\v cka $A$. Preslikati datu kru\v znicu homoteti\v cno sa centrom u $A$ i koeficijentom\\
\hspace*{10mm}($a$) $k=\displaystyle{-\frac{1}{2}}$\\ 
\hspace*{10mm}($b$) $k=\displaystyle{\frac{2}{3}}$\\
Odrediti omjer povr\v sina i obima kru\v znica.
\end{zad}


\begin{zad}
U pravouglom trouglu $\triangle ABC$, $a$ i $b$ su kraci a $c$ je hipotenuza ($BC=a$, $AC=b$, $AB=c$). Dokazati da je 
$a^2+b^2=c^2$.
\end{zad}

\begin{zad}
U pravoulom trouglu $\triangle ABC$, du\v z $CD$ je visina na hipotenuzu $AB$. Ako uvedemo oznake da je $AD=p$, $BD=q$ dokazati da je $CD=\sqrt{pq}$.
\end{zad}

\begin{zad}
Konstruisati du\v z $\sqrt{3}$.
\end{zad}


\begin{zad}
Data je du\v z $a$. Konstruisati du\v z $\sqrt{a}$.
\end{zad}


\begin{zad}
Konstruisati du\v z $\displaystyle{x=\frac{\sqrt{ab}}{a}}$, 
ako su $a$ i $b$ date du\v zi.
\end{zad}
\end{multicols}


\end{document}