\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}

%%\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[cp1250]{inputenc} 
\usepackage[left=16mm,right=17mm,top=18mm,bottom=10mm]
{geometry}
\usepackage{makeidx, graphicx, amsmath, amssymb, amsthm, ae, arcs}
\usepackage{esint, hvfloat}
\usepackage[croatian, english]{babel}



\newtheoremstyle{zaFiguru} %name
  {2.4mm}    %Space above, empty = `usual value'
  {2.5mm}    %Space below
  {\rm}   %Body font
  {}     %Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bf}   %Thm head font
  {}      %Punctuation after thm head
  {2mm}   %Space after thm head: \newline = linebreak
  {\thmname{#1} \thmnumber{\Large #2.}\thmnote{\,(#3)}}       %Thm head spec  

 

%%\swapnumbers
\theoremstyle{zaFiguru}
\newtheorem{zad}{}


\def\ug{{{\measuredangle}}}
\def\tr{{{\triangle}}}


\setlength{\textheight}{262mm}
\setlength{\textwidth}{180mm}
\begin{document}


\raggedright



\renewcommand{\thesection}{}

\section{6 Elementarni zadaci: Osnovni konstruktivni zadaci.}



\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}
{
Elementarna pitanja:


\hspace*{5mm}
1. Četverougao je tetivni akko...

\hspace*{5mm}
2. Kako glasi prvi potreban i dovoljan uslov da bi \v cetverougao bio tetivni (zbir dva naspremna ugla...).


\hspace*{5mm}
3. Kako glasi drugi potreban i dovoljan uslov da bi \v cetverougao bio tetivni (uglovi koji gledaju na...).



\hspace*{5mm}
4. Kako glasi treći potreban i dovoljan uslov da bi četverougao bio tetivni (... $SA\cdot SC=SB\cdot SD$).
}}






\begin{zad}
Data je prava $p,$ tačka $A$ i oštar ugao $\alpha$.
Konstruisati pravu koja prolazi kroz datu tačku $A$ ($A\not \in p$) i siječe datu pravu $p$ pod uglom $\alpha.$
\end{zad}



\begin{zad}
Kroz datu ta\v cku $M$ van date prave $p$ konstruisati pravu koja sije\v ce datu pravu pod uglom od $20^\circ$. (Ugao od $20^\circ$ konstruisati pribli\v zno ta\v cno.)
\end{zad}


\begin{zad}
Dat je trougao $\triangle ABC$. Konstruisati pravu $p$ koja je jednako udaljena od vrhova $A$, $B$ i $C$ datog trougla.
\end{zad}


\begin{zad}
Konstruisati pravougli trougao kome je data hipotenuza i jedan o\v star ugao.
\end{zad}


\begin{zad}
Konstruisati pravougli trougao $\triangle ABC$ ako su poznati kateta $b$ i visina $h_c$ koja odgovara hipotenuzi $c$.
\end{zad}


\begin{zad}
Konstruisati \v cetverougao $\square ABCD$ ako su date dužine njegovih stranica $AB=8\,cm$, $BC=6\,cm$, $CD=5\,cm$ i $AD=7\,cm$. Da li se u ovaj četverougao može upisati krug?
\end{zad}




\section{Sličnost trouglova i Talesova teorema}



\fbox{\parbox[b][][t]{1\textwidth}
{
\hspace*{5mm}
\textbf{Definicija sličnosti trouglova}\\
\hspace*{5mm}
{\rm
Dva trougla $\tr ABC$ i $\tr A'B'C'$ su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im odgovarajuće stranice proporcionalne tj. $\displaystyle{\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}}$.}\hfill{$\lozenge$}




\vspace*{2mm}
\hspace*{5mm}
\textbf{Stav 1 (slič. UUU)}\\
\hspace*{5mm}
{\rm
Ako u dva trougla $\tr ABC$ i $\tr A'B'C'$ imamo sva tri ugla redom podudarna tada su ta dva trougla slična.

\hfill{$\lozenge$}}


\vspace*{2mm}
\hspace*{5mm}
\textbf{Stav 2 (slič. SSS)}\\
\hspace*{5mm}
{\rm
Ako u  trouglovima $\tr ABC$ i $\tr A'B'C'$ imamo tri stranice redom proporcionalne tada su ta dva trougla slična.\hfill{$\lozenge$}}

\vspace*{2mm}
\hspace*{5mm}
\textbf{Stav 3 (slič. SUS)}\\
\hspace*{5mm}
{\rm
Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao između njih tada su ta dva trougla slična.\hfill{$\lozenge$}}

\vspace*{2mm}
\hspace*{5mm}
\textbf{Stav 4 (slič. SSU)}\\
\hspace*{5mm}
{\rm
Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao nasprem veće stranice tada su ta dva trougla slična.\hfill{$\lozenge$}}
}}


\begin{zad}
U trouglu $\triangle ABC$ date su ta\v cke $B' \in AB$ i $C' \in AC$ takve da je $p(B',C')||p(B,C)$. Dokazati da su stranice $AB$ i $AC$ proporcionalne sa $AB'$ i $AC'$ redom. 
\end{zad}



\begin{zad}
U trouglu $\triangle ABC$ date su dvije ta\v cke $E\in AB$ i $F\in AC$ takve da je $\displaystyle{\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}}$. Dokazati da je tada $p(E,F)||p(B,C)$.
\end{zad}






\begin{zad}
U pravoulom trouglu $\triangle ABC$, du\v z $CD$ je visina na hipotenuzu $AB$. Ako uvedemo oznake da je $AD=p$, $BD=q$ dokazati da je $CD=\sqrt{pq}$.
\end{zad}




\begin{zad}
U pravouglom trouglu $\triangle ABC$, $a$ i $b$ su kraci a $c$ je hipotenuza ($BC=a$, $AC=b$, $AB=c$). Dokazati da je 
$a^2+b^2=c^2$.
\end{zad}




\begin{zad}
Neka su $AC$ i $BD$ dvije du\v zi koje se sijeku u ta\v cki $S$. Dokazati da je \v cetverougao $ABCD$ tetivni akko je $SA\cdot SC=SB\cdot SD$.\\
\textbf {Posljedica zadatka:} Potreban i dovoljan uslov da \v cetverougao bude tetivni je $SA\cdot SC=SB\cdot SD$.
\end{zad}








\newpage
\textbf{Talesova teorema}\\
\hspace*{5mm}
{\rm
Neka se prave $p$ i $q$ sijeku u tački $S$ i neka su $a$ i $a'$ dvije prave koje ne sadrže tačku $S$ i sijeku, redom, prave $p$ i $q$ u tačkama $P$, $Q$ i $P'$ i $Q'$. Ako su $a$ i $a'$ dvije međusobno paralelne prave tada vrijedi 
$\displaystyle
{SP\over SP'}={SQ \over SQ'}=
{PQ \over P'Q'}.$}
\hfill{$\lozenge$}\\

\vspace*{2mm}
{\centerline{\includegraphics{pit03}}}
\vspace*{2mm}



\textbf{Posljedice Talesova teorema}\\
$$
{SP'\over SQ'}={SP\over SQ},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
{SP\over P'P}={SQ\over Q'Q},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
{SP'\over P'P}={SQ' \over Q'Q},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
{SP\over PQ}={SP' \over P'Q'}
$$



\vspace*{5mm}
\textbf{Obrat Talesove teoreme}\\
\hspace*{5mm}
$$
{SP\over SP'}={SQ\over SQ'}=
{PQ \over P'Q'}
\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, a\Vert a'.
$$



\begin{zad}
Neka je $I$ centar upisanog kruga $\triangle ABC$ ($AB<BC$), ta\v cka $S$ centar opisanog kruga $k$ oko trougla $\triangle ABC$, $M$ sredina stranice $AC$ i neka je ta\v cka $P$ na luku $AC$ (kojem ne pripada ta\v cka $B$) kruga $k$ takva da je $\triangle PAI$ jkk, da va\v zi poredak $P-M-S$ i da je $PM\perp AC$. Ako je ta\v cka $N$ presje\v cna ta\v cka poluprave $pp[P,S)$ i kruga $k$ dokazati da je $\triangle AMP\sim \triangle NAP$ i da je $\triangle PIN \sim \triangle PMI$.
\end{zad}


\begin{zad}
Dat je trougao $\triangle ABC$ u kome su poznate dvije visine $AA'=h_a,$ $CC'=h_c$ i te\v zi\v snica $CC_1=t_c.$ Ako je data tačka $D$ na duži $BA'$ takva da $C_1D\bot BC$ dokazati da je $C_1D={1\over2}h_a.$ Tvrdnju dokazati bez primjene teoreme o srednjoj liniji trougla.
\end{zad}


\begin{zad}
Neka je $\square ABCD$ paralelogram. Na polupravoj $DB$ uzeta je ta\v cka $E$ tako da je poluprava AB simetrala ugla $\measuredangle CAE.$ Neka je $F$ ta\v cka presjeka pravih $CE$ i $AB.$ Dokazati da je ${EC\over EF}={AB\over BF}.$
\end{zad}



\begin{zad}
Neka je $S$ ta\v cka izvan kruga, prava $p(S,T)$ tangenta na krug u ta\v cki $T$ i neka prava $SCD$ sije\v ce krug u ta\v ckama $C$ i $D$. Dokazati da je $ST^2=SC\cdot SD$.\\
\textbf{Napomena:} Proizvod $SC \cdot SD$, gdje je ta\v cka $S$ unutar ili  izvan kru\v znice i prava $SCD$ sije\v ce krug u ta\v ckama $C$ i $D$, zovemo stepen ili potencija ta\v cke $S$ u odnosu na datu kru\v znicu.
\end{zad}


\begin{zad}
U \v cetverouglu $\square ABCD$ dijagonale se sijeku u ta\v cki $S$. Ako je $SA\cdot SC=SB\cdot SD$, $\measuredangle ABD=60^\circ$ i $\measuredangle DAC=50^\circ$ odrediti 
ugao $\measuredangle ADC$.
\end{zad}


\begin{zad}
Neka je $S$ centar kru\v znice opisane oko trougla $ABC$, $M$ ta\v cka takva da je $M-A-B$. Ako je $MA\cdot MB=MC^2$, odrediti $\measuredangle SCM$.
\end{zad}



\begin{zad}
Dokazati da te\v zi\v snica trougla dijeli te\v zi\v snice u omjeru 2:1.
\end{zad}



\begin{zad}
Dokazati da simetrala unutra\v snjeg ugla u trouglu dijeli naspremnu stranicu trougla u omjeru druge dvije stranice.
\end{zad}


\begin{zad}
Neka je $C$ proizvoljna ta\v cka kru\v znice $k$, a $B$ ta\v cka na pre\v cniku $AA_1$ kru\v znice takva da je $AC=BA_1$. Dokazati da se u trouglu $\triangle ABC$ simetrala ugla kod $A$, visina iz $B$ i te\v zi\v sna linija iz $C$ sijeku u istoj ta\v cki.
\end{zad}


\begin{zad}
Dokazati da je ugao između tangente i tetive jednak periferiskom uglu nad tom tetivom.
\end{zad}


\begin{zad}
Dokazati da je rastojanje proizvoljne ta\v cke kru\v znice od
njene tetive jednako geometriskoj sredini rastojanja od te 
ta\v cke do tangenti u krajnjim ta\v ckama iste tetive.
\end{zad}



\end{document}